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Gestion des Stocks et de Production - Etudes Logistique

Written By Hicham DARIF on 13 mars 2012 | 18:18

GESTION DES STOCKS ET DE LA PRODUCTION :

Table des matières :

1. Introduction
1.1. Buts poursuivis
1.2. Contexte actuel
1.3. Stratégie de produit
1.4. Stratégie de procédé 
1.5. Structure des produits
1.6. Typologie et profil des entreprises
1.7. Horizons de planification

2.  La gestion  des stocks
2.1. Introduction
2.2.  Notion de quantité économique
2.3. Notion de stock de sécurité
2.4. Classification ABC
2.5. Politiques de gestion
2.5.1.  La méthode de réapprovisionnement
2.5.2.  La méthode de recomplètement
2.5.3.  La méthode du point de commande
2.5.4.  La méthode à quantités et dates variables

3.  MRP II (Manufacturing Resources Planning)
3.1. Contexte et motivation
3.2. Architecture générale 
3.3. La stratégie industrielle
3.4. La planification des produits et des ventes.
3.5. Le plan industriel et commercial  (PIC)
3.6. Le business plan (plan financier)
3.7. Le programme directeur (PD) et le programme directeur de production (PDP)
3.8. Le calcul des besoins (MRP I)
3.8.1.  Notion de nomenclature
3.8.2.  Méthode de calcul
3.8.3.  Calcul et suivi des charges détaillées
3.8.4.  Extension au cas du Make-To-Order

4. Nouvelles approches
4.1. Introduction
4.1.1. Méthode classique
4.1.2. Approche JIT
4.1.3.  Théorie des contraintes
4.2. Théorie des contraintes 
4.2.1.  Les étapes de la démarche
4.2.2.  La planification drum-buffer-rope
  3
4.2.3.  Les indicateurs de performance
4.3. JIT (Just In Time)
4.3.1. Philosophie
4.3.2.  La méthode KANBAN

5.  Ordonnancement et gestion des flux physiques
5.1. Introduction
5.2. Gestion de flow shops (batch)
5.3. Gestion de job shops
5.3.1.   But poursuivi
5.3.2.  Formalisme de Gantt
5.3.3.  Règles de priorité
5.3.4.  Taille des files d’attente
5.3.5.  Gestion des entrées-sorties
5.4. Gestion de projets (la méthode PERT /CPM)
5.4.1. Introduction
5.4.2.  Durée des activités
5.4.3.  Notion de chemin critique
5.4.4.  Ordonnancement à durée minimum
5.4.5.  Ordonnancement à coût minimum

6.  Maintenance et qualité totales
6.1. Introduction
6.2. Contrôle de qualité
6.2.1. Considérations statistiques
6.2.2.  Acceptation par échantillonnage
6.2.3.  Statistical Process Control (SPC)
6.2.4. Mistake Proofing
6.3. Maintenance 

 
7. Bibliographie



  4
                                               

1 Introduction

1.1 Buts poursuivis

La gestion des stocks et de la production (Produc tion and Inventory Management) a pour objectif la
conception, la conduite ainsi que la supervision des systèmes de production et de distribution.
Le cours se focalise essentiellement sur la conduite et l’exploitation de tels systèmes; les thèmes
abordés concernent donc la planification, l’exécution et le suivi de la production .

1.2 Contexte actuel

Dans le contexte industriel actuel, l'offre est largement excédentaire par rapport à la demande
et, par conséquent, la clientèle est de plus en plus exigeante. Ceci implique pour l'entreprise:
-  la maîtrise des coûts grâce à un suivi précis de la production;
-  la réduction des coûts par la réorganisation ou l'élimination des procédures coûteuses
n'apportant que peu de valeur ajoutée, par la minimisation des en-cours et des stocks;
-  des délais de livraisons courts et fiables; 
-  une qualité constante et irréprochable;
-  de petites séries de produits personnalisés et fréquemment renouvelés;
1

-  une grande adaptativité face aux évolutions de plus en plus rapides de la demande et à
l'émergence de nouvelles technologies.

Certaines de ces exigences sont contradictoires; la gestion des stocks et de la production  a pour but
d'assurer une cohérence globale en effectuant les arbitrages nécessaires.


1.3  Stratégie de produit

Les facteurs déterminant la stratégie produit sont les suivants :
-  le lead time de la production, c’est-à-dire le temps nécessaire à l’exécution d’une
commande;
-  le délai acceptable par le marché;
-  le degré de personnalisation souhaitée pour les produits.

Les stratégies produit fondamentales sont :
-  MTS (Make To Stock) qui correspond à la production de produits standards pour lesquels
le marché impose une disponibilité immédiate (ex: les boites de petits pois);
-  ATO (Assemble To Order) qui concerne des produits comportant de nombreuses variantes
(qu’on ne peut, par conséquent, pas maintenir en stock) assemblées à partir de sous-ensembles standards en nombre limité; les sous-ensembles sont en général produits en
MTS tandis que les produits finaux sont assemblés sur commande (ex: automobiles);
-  MTO ou ETO (Make To Order ou Engineer To Order) où les produits fortement
personnalisés sont construits sur commande (ex: maisons).

1
La durée de vie des produits devient, de plus en plus fréquemment, inférieure à la durée de vie des équipements de
production. Il est, donc, indispensable de concevoir ces é quipements en sorte de pouvoir  les réutiliser pour d'autres
productions; leur flexibilité et leur programmabilité pr end, dans ce cadre, toute son importance stratégique.
  5
                                               

La stratégie MTO est la plus favorable pour le producteur dans la mesure où elle n’impose, le cas
échéant, que le stockage de matières premières beaucoup moins coûteuses que les produits finis.
Le recours à une telle stratégie n’est possible que si l’entreprise réussit à réduire son lead time à une
valeur inférieure au délai accepté par le marché.

1.4  Stratégie de procédé

Trois stratégies au niveau du procédé de fabrication sont à prendre en considération :
-  flow shop qui organise les équipements de production en fonction des produits (product
layout); chaque équipement ne fabrique qu’un produit (ou une famille de produits) et est
intégré à une ligne de production dédicacée à ce produit (ou cette famille de produits) (ex:
assemblage automobile); la conception d’un flow shop implique le regroupement
d’opérations au sein de stations de travail installées en ligne et l’équilibrage
2
 de la ligne;
-  job shop où les équipements de production sont groupés fonctionnellement (functional
layout) en départements (fraisage, soudage, assemblage, ..); le job shop est capable de
fabriquer un gamme étendue de produits qui, en lots, suivent un chemin spécifique dans
l’atelier (ex: chaudières industrielles);
-  fixed site qui correspond au cas où le volumineux produit fabriqué est fixe tandis que les
équipements de production viennent à lui (ex: construction navale).

1.5  Structure des produits

On distingue les structures suivantes :
-  structure convergente où les produits finis en variété limitée sont assemblés au départ d’un
nombre important de composants eux-même usinés ou formés à partir de matières
premières très variées (ex: moniteurs de télévision);
-  structure à points de regroupement qui concerne le cas où les produits finis et les matières
premières sont en nombre important tandis qu’il n’existe qu’un nombre limité de sous-ensembles intermédiaires (ex: automobiles);
-  structure divergente qui correspond à un nombre restreint de matières premières et à une
abondance de produits finis (ex: pièces estampées).


La figure 1.1 résume ces trois structures fondamentales.



2
 L’équilibrage d’une ligne consiste à égaliser, par un groupement adéquat des opérations de production respectant les
contraintes de précédence éventuelles, le temps opératoire de chaque sta tion. Ce temps opératoire commun, appelé
temps de cycle, est le temps nécessaire à la production d’un produit.

Degré de      Structure
  6
                                               
finition des 
articles                convergente                       à points de regroupement       divergente





                        



                           Nombre d’articles

      Figure 1.1


1.6  Typologie et profil des entreprises

Par profil d'entreprise, on entend généralement le 5-uple suivant :
-  volume de production : unitaire ou petite série ou moyenne série ou grande série;
-  procédé de production : continuous/repetitive flow shop  ou  job shop  ou fixed site (par
projet);
-  stratégie de produit :  make-to-stock ou assemble-to-order ou make-to-order
3
 
-  structure des produits : convergente ou divergente ou  à points de regroupement ou
parallèle
-  autonomie : concepteur-fabricant ou sous-traitant ou façonnier



Il faut, encore, faire deux remarques:

- chaque stratégie de produit nécessite un stockage spécifique ( cf  figure 1.2).


3
Le choix de la stratégie dépend du temps nécessaire à la fabrication, du délai de livraison acceptable par le marché et
du degré de personnalisation exigé.
  7

Make-To-Stock  Assemble-To-Order  Make-To-Order
Produits finis
Sous-ensembles
Matières premières

Sous-ensembles
Matières premières

Matières premières

Figure 1.2

Une entreprise a toujours intérêt à diminuer la valeur de ses stocks. Pour ce faire, elle doit
tenter de migrer d'une stratégie Make-To-Stoc k vers Assemble-To-Order ou même Make-To-Order
en comprimant au maximum son délai de fabrication.

- la quantité  et la variété produites mettent en relation les stratégies produit et les procédés de
production ( cf  figure 1.3)

  Make-To-Stock  Assemble-To-Order  Make-To-Order
Flow shop  High volume
Standard to low variety
High volume
Low to medium variety

Job shop      Low volume
High variety
Fixed site      Unitary
Very high variety

Figure 1.3

1.7  Horizons de planification

La terminologie utilisée pour ce qui concerne la planification de la production est la suivante :
-  long terme : supérieur au délai d’acquisition de nouveaux équipements et sites de
production (ex: plan industriel et commercial); 
-  moyen terme : supérieur au plus long lead time (ex: programme directeur de production,
calcul des besoins); 
-  court terme : minute, heure, pause (8 heures), au plus semaine.


  8
2  La gestion des stocks

2.1 Introduction

Le succès d'une organisation est déterminé, entre autres, par sa capacité de proposer le bon produit
(ou service) au bon moment et au bon endroit. Un stockage intelligent contribue de manière
décisive à cet objectif stratégique.

On distingue, en général, différents types de stockage :
-  stocks de produits finis;
-  stocks d'entrants de fabrication (matières premières, pièces sous-traitées);
-  stocks de pièces de rechange et de produits pour la maintenance des équipements de
production;
-  stocks d'outillages et d'accessoires;
- en-cours.


Rôles positifs :
-  lissage de la production dans les cas nombreux où la demande subit des variations
saisonnières;
-  robustesse par rapport à des indisponibilités de ressources de production;
-  réduction des délais de mise à disposition (dans le cas des stocks de produits finis).

Inconvénients :
-  rigidification de la production
-  immobilisation de moyens financiers importants (ils peuvent représenter 25 à 30 % du
capital immobilisé)
- utilisation d'espace
-  occultation d'insuffisances graves en matière de prévision et de gestion.

Vu l'investissement considérable et improductif que constituent les stocks, il est impératif, pour
toute entreprise, de tenter de les minimiser. Cette minimisation très souhaitable implique :
-  la diminution drastique (voire la disparition ) des pannes de ressources; ceci explique
l'intérêt de plus en plus grand accordé aux problèmes de maintenance;
-  l'élimination des rebuts; ceci justifie l'importance stratégique de la philosophie qualité
dans l'entreprise;
-  la réduction de la taille des lots de fabrication; ceci requiert des temps et coûts de
changement de série (set up) aussi faibles que possible.


2.2  Notion de quantité économique

Le but de la gestion de stocks est de les minimiser en respectant un niveau de service donné. Le
niveau de service est quantifié par la probabilité de rupture.
Si e (t) et s (t) représentent  les débits d' entrée et de sortie d'un stock donné, le contenu instantané
dudit stock correspond à :

c (t) =   ∫
t
0
 
( e (t) - s (t) ) dt    + c (0)

Dans le cas un peu idéalisé d'une fonction s (t) constante et d’une réception instantanée, on obtient
l'évolution  de la figure 2.1 :


c  (t)
t
Q
0
                                      
           T                     2T                      3T

                    avec (réception instantanée)   e (t) = Q pour t = nT
                                             e (t) = 0  pour t  ≠  nT


                                                               Figure 2.1

Le stock moyen  est, donc, égal à Q/2.
Simplement minimiser ce stock moyen , et donc Q, n'est pas une bonne idée dans la mesure où le
lancement d'un ordre d'achat ou d'un ordre de  fabrication entraîne des coûts fixes ( non
proportionnels ).

Le calcul de la quantité optimale ( dite économique ) se fait en minimisant la somme du coût de
stockage et du coût de lancement sur une base annuelle, par exemple.
Ce coût global est donné par:

C = C stockage  + C
lancement
4
  

avec

C  stockage  = p a Q/2  où  p =  taux de possession annuel tenant compte de l'intérêt du 
          capital immobilisé, de la déterioration éventuelle, des 
          obsolescences et des frais divers ( loyer, assurances, 
          manutentions, taxes, ...); p peut valoir jusqu'à 30%.
a =   prix de l'article
5
                                                
4
 En toute généralité, ce coût global devra it comporter un terme relatif aux ruptures  de stock. Ce terme (correspondant à
des mécontentements voire des pertes de client s) est toutefois difficilement quantifiable.
  9
5
Article est un vocable général qui désigne tant un produit fini qu'un composant ou une matière première.
et
 
C  lancement
 = L N/Q  où  L =  coût de lancement d'un ordre d'achat (écriture d'un bon 
          de commande, préparation de spécifications, suivi et
        relance, traitement de factures, payement) ou de   
          fabrication (setup, rebut de début de série).

      N =  nombre d'articles commandés ou fabriqués par an.   

 
L'équation ∂  C/  ∂  Q = 0 nous donne la formule dite de Wilson :
paNLQ
e
/2 =

Cette formule suppose, entre autres, que les coûts de lancement sont purement fixes et que le prix
de l'article est indépendant des quantités achetées ou fabriquées.

L’hypothèse de réception instantanée est tout-à-fait justifiée dans le cas d’un ordre d’achat. Si
l’article est produit intra muros (cas d’un ordre de fabrication), la réception ne sera probablement
pas instantanée.
L’évolution du stock se présente alors comme indiqué à la figure 2.2.

Stock
  10

Q


Q’





           TP                                                                                 Temps
       TC
                                                                            
                                       
                                                                      Figure 2.2

TC : période de consommation;
TP : période de production;
PR : rythme de production  = Q/TP;
CO : débit de consommation = Q/TC.

C = LN/Q + paQ’/2
avec Q’/Q = (TC - TP)/TC = (1 – TP/TC).

On déduit que :
Q’ = Q (1 – CO/PR).

Il vient : 
C = LN/Q + paQ (1-CO/PR)/2.

L'équation ∂  C/  ∂  Q = 0 nous donne :

))/1(/(2 PRCOpaLNQ − =


2.3   Notion de stock de sécurité 

Le stock de sécurité permet d'absorber l'imprévisible et, par conséquent, d'éviter la rupture de stock.
On peut, donc, considérer que le paragraphe pr écédent s'applique au stock disponible  ( stock
physique - stock de sécurité ) et non au stock physique.

2.4 Classification ABC

Cette analyse très classique permet de focaliser l’attention des gestionnaires sur les articles vitaux et
de moduler la politique de gestion en fonction  du caractère plus ou moins stratégique des divers
articles en stock.
Sont classés A, les 20% d’articles du stock qui correspondent aux valeurs annuelles (aN) les plus
grandes.
Sont classés B , les 40% d’articles qui suivent.
Les 40% subsistants sont classés C.
Il arrive fréquemment que les articles A correspondent à 80% de la valeur annuelle totale. Il va de
soi que la plus grande attention doit être dévolue à cette catégorie d’articles.


2.5  Politiques de gestion

On peut imaginer diverses politiques de gestion. De la plus triviale à la plus sophistiquée, on trouve
les méthodes suivantes.

2.5.1  La méthode de réapprovisionnement ( dates fixes, quantités fixes ) 
 Ce type de contrat prévoit de commander à date fixe ( par exemple le 20 de chaque mois  pour un
article donné ) une quantité fixe dudit article ( voisine de la quantité économique ). Il est évident
qu'on étale dans le temps les ordres d'achat ou de fabrication correspondant à l'ensemble des
articles.

2.5.2  La méthode de recomplètement  ( dates fixes, quantités variables )
A date fixe ( par exemple le 20 de chaque mois ), le responsable du stock  lance un ordre visant à
ramener le stock d'un article à son niveau maximum. A nouveau, les ordres correspondant à
  11
l'ensemble des articles sont étalés dans le temps. Un des inconvénients est que l'on est amené, à
certains moments, à lancer des ordres pour des quantités très différentes de la quantité économique.

2.5.3  La méthode du point de commande ( dates variables, quantités fixes ) 
C'est l'atteinte d'un certain niveau de stock (le point de commande ) qui déclenche l'ordre d'achat ou
de fabrication. Le point de commande est le niveau de stock nécessaire à la couverture des besoins (
sans entamer le stock de sécurité ) entre le lancement de l'ordre et la réception correspondante (cf
figure 2.3 ). La quantité commandée est la quantité économique.

Stock
Temps
Point
de
comm.
Stock de
sécurité
                   
                                      Lancement de l'ordre                      Réception                 

                                                                     Figure 2.3



Le point de commande PC est donc donné par :
PC = SS + Cmoy*LTmoy

SS : stock de sécurité;
Cmoy : consommation moyenne;
LTmoy : lead time moyen pour la réception de l’article acheté ou fabriqué.

Il existe classiquement deux approches pour la détermination du stock de sécurité.
2.5.3.1 Approche statistique
C (consommation de l’article) peut être considérée comme une variable normale de moyenne Cmoy
et d’écart-type Csd.
On a :
QC = C*LTmoy où QC est la quantité consommée pendant LTmoy.

Considérons la variable normale réduite Créd = ( C – Cmoy)/Csd .
Dans le cas d’un niveau de service exigé de 0.95 (probabilité de ne pas avoir de rupture de stock
pour l’article considéré), il vient :
  12
P(QC < PC) = 0.95
  13
Si P (Créd < 1.65) = 0.95 , on en déduit :
P(C < Cmoy + 1.65*Csd) = 0.95 , P(QC < (Cmoy + 1.65*Csd)*LTmoy ) = 0.95 et
PC = (Cmoy + 1.65*Csd)*LTmoy;
cela correspond au stock de sécurité :
SS = 1.65*Csd*LTmoy.

2.5.3.2 Approche géométrique

On se place volontairement dans le cas le plus défavorable.
QC = Cmax*LTmax;
QC = PC correspond au stock de sécurité :
SS = Cmax*LTmax – Cmoy*LTmoy.




La figure 2.4 montre l'évolution d'un stock gouve rné par une méthode de point de commande. 

-  Unité de temps :    la semaine
-  Taille des lots :    1000
- Délai :   2
-  Stock de sécurité :    200
-  Consommation moyenne :  325
-  Point de commande :  850

Les données du calcul sont en grisé.


    S1  S2  S3  S4  S5  S6  S7  S8  S9  S10
Sorties    700  450  100  450  100  700  450  100  100  100
Stock  1400  700  250  1150  700  600  900  450  350  1250  1150
Réception        1000      1000      1000  
Lancement    1000      1000      1000      

                                                 Figure 2.4


2.5.4  La méthode à quantités et dates variables
Cette méthode, qui requiert une attention permanente, ne s'utilise que pour des articles coûteux.




3   MRP (Manufacturing Resources Planning )

3.1   Contexte et motivation

Il est parfaitement concevable de gérer un environnement productif par les stocks correspondants.
La figure 3.1 présente un cas de ce genre, où les lancements sonf faits conformément à la méthode
du point de commande.

Stock
matières
premières
Transformation
Stock
composants
et
sous-ensembles
Assemblage
Stock
produits
finis
Demande
            
Lancement des ordres         Lancement des ordres                                 Lancement des ordres 
         d'achat                         de transformation                                         d'assemblage             
                                                                               
                                                    Figure 3.1

L'avantage majeur de cette approche est sa simplicité; elle présente, néanmoins l'inconvénient de
n'être acceptable que pour les stocks de produits finis et d'être très sous-optimale pour tous les
autres stocks. Un stockage important et inutile de sous-ensembles, composants et matières
premières est la conséquence la plus négative que l'on puisse mettre en évidence.

La figure 3.2 présente l'évolution des stocks d'un produit fini et d'un de ses composants.

  14
Stock de produit  fi ni
Point de commande
Stock de sécurité
Temps
Stock de composant
Point de commande
Stock de sécurité
Temps


                                                     Figure 3.2

On remarque que le stock de composant est dormant à son niveau maximum, entre deux lancements
du parent. On a représenté en grisé le stockage inutile. Ce phénomène s'accentue pour les
composants plus élémentaires.
De plus, la gestion de stock ne tient pas compte du délai de fabrication des composants intervenant
dans l'assemblage d'un produit, par exemple; les ordres correspondant au composant lent et au
composant rapide seront lancés en même temps. Ceci aggrave, encore, la situation de stock du
composant rapide.
Afin d'éviter ces phénomènes, on peut imaginer, connaissant le temps moyen passé par les articles
sur chaque ressource de production ainsi que de la structure des produits, de prévoir les lancements
des divers ordres de sorte que tout soit disponible, sans avance et sans retard, au moment voulu.
Pour ce faire, il faut prendre en considération :
ƒ  les besoins indépendants  ( commandes clients de produits finis et de sous-ensembles ou de
pièces de rechange); ces besoins peuvent être prévus et doivent être estimés.
ƒ  les besoins dépendants  ( engendrés par les besoins indépendants ) qui peuvent et  doivent être
calculés; ce calcul peut se faire grâce à la connaissance de la structure des articles (produits
finis, sous-ensembles, composants et matières) et du temps nécessaire à leur production.

Les besoins indépendants sont, en général, gérés par une stratégie de point de commande tandis que
les besoins dépendants sont pris en compte par un calcul des besoins.

Signalons, enfin, que l'on utilise le même acronyme MRP pour représenter deux choses:
ƒ  Manufacturing Resources Planning (il s'agit en fait de MRP II); c'est la version extensive que
nous détaillerons ci-aprés
ƒ  Material Requirement Planning (il s'agit de MRP I); c'est une version réduite limitée strictement
au calcul des besoins.


  15
  16


3.2   Architecture générale

Dans son principe, MRP a une structure hiérarchisée dans laquelle chaque niveau correspond à un
horizon temporel donné qui diminue avec ledit niveau.

La figure 3.3 montre cette structure intégrée à la gestion de production dans son ensemble.
Plan industriel et
commercial ( PIC)
Réunion de
direction
Période : 1 mois
Unité temporelle : 1 mois
Horizon : 6 mois
générale
Réunion de
direction de
production
Période : 1 semaine
Programme
directeur de
production (PDP)
Unité temporelle : 1 semaine
Horizon : 10 semaines
Calcul des besoins
Calcul des charges
Période : 1 semaine
Ordres d'achat Ordres de fabrication
Unité temporelle : 1 semaine
  Horizon : 5 semaines
Ordonnancement
Période : 8 heures
Plan d'opérations
Unité temporelle : 1 heure
Horizon : 24 heures
Gestion des
flux physiques
Liste d'actions à
exécuter
Unité temporelle : 1 minute
Horizon : 15 minutes
Evènement : fin d'exécution
d'une action
Exécution des
actions
Evènement : fin du travail
d'une ressource
Ordres aux
Ressources
Processus
de
traitement
Structure
de
données
Période : max 15 minutes


                                                              Figure 3.3

  17
  18
                                               


3.3  La stratégie industrielle

Cette démarche consiste à étudier les facteurs politiques, économiques et démographiques qui
influencent le marché, c'est-à-dire la demande de produits/services.
Cette étude est clairement en dehors de cet enseignement.

3.4  La planification des produits et des ventes
Il s'agit de répondre aux questions suivantes :
ƒ  quels produits?
ƒ  quelles quantités?
ƒ  quels marchés?
ƒ  quelle qualité?

Cette planification ne fait pas partie du cours.


3.5  Le plan industriel et commercial (PIC)
6


Ce plan définit l'activité globale de l'entreprise par familles de produits. Il est établi lors d'une
réunion mensuelle entre le PDG et les directeurs opérationnels (production, commercial, achats et
logistique ). Son objet est de prévoir l'évolution liée des ventes, de la production et du stock ( ou du
portefeuille de commandes ). 
Un objectif fréquemment poursuivi dans ce plan est  soit la stabilisation du stock (ou du
portefeuille) à un niveau constant raisonnable, soit le maintien d’une production constante (en
nombre de produits/jour) malgré des ventes saisonnières.
La relation entre les diverses grandeurs est :

Production ( t ) = Ventes ( t )  +  Stock désiré ( t )  -  Stock ( t -1 )
           ou
Production ( t ) = Ventes ( t )  +  Portefeuille ( t - 1 )  -  Portefeuille désiré ( t )

La figure 3.4 donne un exemple de PIC pour une  famille de produits (en make-to-stock)
avec un objectif de stock constant; les données du problème sont représentées en grisé.


6
Appelé Production Plan dans  la littérature anglo-saxonne.
  19

    M-3  M-2  M-1  M1  M2  M3  M4  M5  M6
Ventes                     
Prévisionnelles    1800  1800  1800  1800  1800  1800  1800  1800  1800
Réelles    1690  1805  1980            
Ecart    110  -5  -180            
Ecart cumulé    110  105  -75            
Production                     
Prévisionnelle    1620  1420  1820  2166  1700  1700  1800  1800  1800
Réelle    1790  1305  1534            
Ecart    -170  115  286            
Ecart cumulé    -170  -55  231            
Stock                    
Prévisionnel    2000  1900  1800  1700  1600  1500  1500  1500  1500
Réel  2180  2280  1780  1334            
Ecart    -280  120  466            

                                                                  Figure 3.4

La figure 3.5 montre pour une famille de produits saisonniers un PIC avec un objectif de production
constante.

  M-1  M1  M2  M3  M4  M5  M6
Ventes prévisionnelles    100  50  50  100  100  50
Production prévisionnelle    75  75  75  75  75  75
Stock prévisionnel    25  50  75  50  25  50
Stock réel  50            
 
                                                                          Figure 3.5

L’établissement du PIC est souvent un compromis à vocation optimale entre un fonctionnement à
faible stock constant (qui minimise les coûts d'exploitation des stocks) et un fonctionnement à
production constante (qui minimise les coûts de changement de débit de production).
Pour fixer les idées, considérons l’exemple d’une famille de produits destinés à un marché
relativement fluctuant.
Les données du problème sont :
-  stock de sécurité : 1.100;
-  coût unitaire de l’article en heures normales : 5000 FB;
-  coût unitaire de l’article en heures supplémentaires : 5350 FB;
-  taux de possession annuel : 30%;
-  coût d’embauche : 60.000 FB par ouvrier;
-  coût de licenciement : 20.000 FB par ouvrier;
-  coût horaire ouvrier : 1.000 FB;
-  capacité par ouvrier par mois : 160 heures, 200 articles;
-  effectif maximum : 60 ouvriers.
-  Nombre maximum d’heures supplémentaires : 40 par ouvrier par mois.

La capacité maximum de l’atelier est donc de 60*250 (soit 15.000) articles par mois.
  20

La figure 3.6 montre un PIC à production constante  sur un horizon de 12 mois (toutes les données, à
l’exception de celles du mois M-1, sont prévisionnelles). Les quantités d’articles sont indiquées en
milliers.

Mois  Stock
initial
Production  Nombre 
d’ouvriers
Demande  Stock final  Cout des
 heures suppl.
(en kFB)
Cout d’
emb.
(en kFB)
Cout de
lic.
(en kFB)
Cout de
stockage
(en kFB)
M-1    10      1.1        
M1  1.1  10  50  9  2.1  0  0  0  262.5
M2  2.1  10  50  6.2  5.9  0  0  0  737.5
M3  5.9  10  50  8  7.9  0  0  0  987.5
M4  7.9  10  50  11  6.9  0  0  0  862.5
M5  6.9  10  50  13.2  3.7  0  0  0  462.5
M6  3.7  10  50  10  3.7  0  0  0  462.5
M7  3.7  10  50  8  5.7  0  0  0  712.5
M8  5.7  10  50  6  9.7  0  0  0  1212.5
M9  9.7  10  50  9.5  10.2  0  0  0  1275
M10  10.2  10  50  13  7.2  0  0  0  900
M11  7.2  10  50  14  3.2  0  0  0  400
M12  3.2  10  50  12.1  1.1  0  0  0  137.5
Total
annuel
  120    120    0  0  0  8412.5

Grand total
7
: 8.412.500 FB
                                                                    Figure 3.6

La figure 3.7 reprend les mêmes données de départ  dans le cadre d’un PIC à stock minimum constant.


Mois  Stock
initial
Production  Nombre
d’ouvriers
Demande  Stock final  Cout des
 heures suppl.
(en kFB)
Cout d’
emb.
(en kFB)
Cout de
lic.
(en kFB)
Cout de
stockage
(en kFB)
M-1    10  50    1.1        
M1  1.1  9  45  9  1.1  0  0  100  137.5
M2  1.1  6.2  31  6.2  1.1  0  0  280  137.5
M3  1.1  8  40  8  1.1  0  540  0  137.5
M4  1.1  11  55  11  1.1  0  900  0  137.5
M5  1.1  13.2  60  13.2  1.1  420  300  0  137.5
M6  1.1  10  50  10  1.1  0  0  200  137.5
M7  1.1  8  40  8  1.1  0  0  200  137.5
M8  1.1  6  30  6  1.1  0  0  200  137.5
M9  1.1  9.5  48  9.5  1.1  0  1080  0  137.5
M10  1.1  13  60  13  1.1  350  720  0  137.5
M11  1.1  14  60  14  1.1  700  0  0  137.5
M12  1.1  12.1  60  12.1  1.1  35  0  0  137.5
Total
annuel
  120    120    1505  3540  980  1650

Grand total : 7.675.000 FB
                                                                 Figure 3.7

Dans notre marche vers l’optimum, il paraît logique de repartir du PIC à stock constant et
d’éliminer les sources de coût. Un examen attentif de la figure 3.8 montre que la période M4-M9
est fertile en changement de rythme de production et, par conséquent, induit des coûts élevés
d’embauche et de licenciement. Une manière de minimiser ces coûts consiste à ne prévoir qu’un
nombre limité (3) de débits de production : par exemple, 9.000, 10.000 et 11.000 articles par mois.
Le PIC correspondant est donné à la figure 3.8.
                                                
7
 En sus des coûts de production.
  21


Mois  Stock
initial
Production  Nombre
d’ouvriers
Demande  Stock final  Cout des
 heures suppl.
(en kFB)
Cout d’
emb.
(en kFB)
Cout de
lic.
(en kFB)
Cout de
stockage
(en kFB)
M-1    10  50    1.1        
M1  1.1  9  45  9  1.1  0  0  100  137.5
M2  1.1  9  45  6.2  3.9  0  0  0  487.5
M3  3.9  10  50  8  5.9  0  300  0  737.5
M4  5.9  10  50  11  4.9  0  0  0  612.5
M5  4.9  10  50  13.2  1.7  0  0  0  212.5
M6  1.7  10  50  10  1.7  0  0  0  212.5
M7  1.7  10  50  8  3.7  0  0  0  462.5
M8  3.7  10  50  6  7.7  0  0  0  962.5
M9  7.7  10  50  9.5  8.2  0  0  0  1025
M10  8.2  10  50  13  5.2  0  0  0  650
M11  5.2  11  55  14  2.2  0  300  0  275
M12  2.2  11  55  12.1  1.1  0  0  0  137.5
Total
annuel
  120    120    0  600  100  5912.5

Grand total : 6.612.500 FB
                                                                     Figure 3.8

Les trois colonnes Production, Demande et Stock constituent le PIC (envisagé ici sur un horizon de
12 mois) le plus adéquat pour l’atelier considéré.



Le PIC est un premier outil permettant à l'entreprise de planifier ses capacités de production
8
. La
production prévisionnelle est convertie en heures de travail dans le but de vérifier l'adéquation entre
la charge et la capacité globales par atelier et pour toutes les familles de produits.
Supposons que l'entreprise ait défini quatre familles de produits à fabriquer, séquentiellement, dans
un atelier d'usinage puis dans un atelier d'assemblage.
Les PICs des quatre familles sont donnés à la figure 3.9.


  M1  M2  M3  M4  M5  M6
Famille A  2166  1700  1700  1800  1800  1800
Famille B  520  500  490  500  500  550
Famille C  990  850  1100  1000  1000  1020
Famille D  150  120  130  100  150  100
                                                                 
                                                                Figure 3.9

A la figure 3.10, est représentée la charge correspondant aux différentes familles.

                                                
8
On parle, dans la littérature anglo-saxonne, de Resource Requirement  Planning, à ce propos.
  22
  Famille
A
Famille B Famille C  Famille D
Usinage (en h / pc )  1  0.5  1  2
Assemblage (en h / pc)  0.5  0.5  0.5  1

                                                        Figure 3.10

Un calcul élémentaire nous permet de dresser le tableau de la figure 3.11


  M1  M2  M3  M4  M5  M6
Charge en usinage (en heures)  3716  3040  3305  3250  3350  3295
Capacité en usinage (en heures)
9
4000  4000  3000  4000  4000  4000
Charge en assemblage (en heures)  1988  1645  1775  1750  1800  1785
Capacité en assemblage (en heures)
9
1800  1800  1800  1350  1800  1800
                                                                      
                                                                   Figure 3.11

Notons qu'il est possible d'augmenter la précision du calcul, dans le cas de longs délais (supérieurs à
notre résolution temporelle d'un mois) de fabrication, en avançant les opérations d'usinage d'un
mois (ou plus) par rapport aux opérations d'assemblage.

En cas de surcharge, on peut utiliser les moyens suivants :
-  recours aux heures supplémentaires
-  mutation de personnel depuis les ateliers en sous-charge
-  recours à la sous-traitance
-  recours au personnel intérimaire
- embauche
-  investissement en ressources de production supplémentaires

En cas de sous-charge, on a le choix entre :
-  suppression des heures supplémentaires
- chômage technique
-  rapatriement de la sous-traitance
-  suppression du travail intérimaire
- licenciements.

Il est également possible, à ce stade, de procéder à une planification financière. En effet, il est aisé
de comparer, dans l'horizon du PIC, l'évolution des coûts de vente (comprenant main d'oeuvre,
matières et composants achetés à l'extérieur, dépréciation de l'équipement de production, frais de
vente et d'administration), de la valeur des stocks et du revenu des ventes.



                                                
9
Il s'agit d'une capacité réelle démontrée précédemment.
  23
3.6  Le business plan (plan financier)

Cette planification financière consiste, par mois et sur un horizon de 6 mois également, à prévoir
par famille de produits l'évolution du coût des ventes, du revenu des ventes et de la valeur du stock.
La figure 3.12 montre le business plan du mois M1  pour les familles de produits A et B.
Les données du calcul sont en grisé.

Famille  M-1  M1    kFB    
A      Prix de revient  40    
      Prix de vente  45    
Production    720  Coût de production  28.800    
Vente    700  Revenu des ventes  31.500  Coût des ventes  28.000
Stock final  180  200  Valeur du stock  8.000  Profit  3.500
B      Prix de revient  35    
      Prix de vente  40    
Production    160  Coût de production  5.600    
Vente    110  Revenu des ventes  4.400  Coût des ventes  3.850
Stock final  50  100  Valeur du stock  3.500  Profit  550

     Figure 3.12


Signalons, pour terminer que le business plan, le PIC et le capacity plan sont, en général, intégrés
dans le même tableau.
  24
3.7  Le programme directeur (PD)
10
 et le programme directeur de
production (PDP)
11


Le programme directeur est un échéancier des produits finis à fabriquer compte tenu  des prévisions
de vente, des commandes clients et  du stock disponible; il s'agit en fait de détailler le PIC pour
tous les produits finis avec une résolution temporelle plus grande ( de l'ordre de la semaine ) sur un
horizon plus court ( de l'ordre  d'une dizaine de semaines ). Le programme directeur de production
est le sous-ensemble du PD qui ne reprend que les ordres de fabrication.

Selon la structure des produits, la mise en oeuvre du PD se fait de la manière suivante :
-  structure convergente (MTS): PD des produits finaux basé sur des prévisions de vente;
-  structure à points de regroupement (ATO): PD des produits finaux basé sur des
commandes fermes; PD des sous-ensembles basé sur des prévisions d’utilisation;
-  structure divergente (MTO) : PD des produits finaux basé sur des commandes fermes; PD
des matières premières et composants basé sur des prévisions d’utilisation.

La figure 3.13 montre un exemple de PD pour un pr oduit fabriqué sur stock, par lots de 200 pièces
en 1 semaine; le stock de sécurité est fixé à 100 pièces; les données du problème sont représentées
en grisé.

PD    S1  S2  S3  S4  S5  S6  S7  S8  S9  S10
Prévisions de ventes      30  35  40  50  60  60  70  70  50
Commandes clients    50  20  15  10            
Stock prévisionnel  200  150  300  250  200  150  290  230  160  290  240
PDP                       
Fin      200        200      200  
Début    200        200      200    

                                                           Figure 3.13

Il faut noter que le PD ( à la différence du calcul des besoins ) n'est pas établi automatiquement.
C'est le responsable du planning qui positionne ces ordres considérés, par conséquent, comme étant
fermes
Le PD est réactualisé à chaque période en utilisant toutes les informations disponibles. Supposons,
par exemple, qu' en semaine 2 les prévisions de ventes ne se réalisent pas et soient reportées, en
partie, en semaine 3. Le PD correspondant est donné à la figure 3.14.

PD    S2  S3  S4  S5  S6  S7  S8  S9  S10  S11
Prévisions de ventes      20  20  40  60  60  70  70  50  50
Commandes clients    20  40  30  10            
Stock prévisionnel  150  330  270  220  170  310  250  180  310  260  210
PDP                       
Fin    200        200      200    
Début          200      200      

                                                               Figure 3.14
                                                
10
appelé, dans la littérature a nglo-saxonne, master schedule.
11
appelé, dans la littérature anglo- saxonne, master production schedule.
  25

On remarque que les ordres fermes de 200 en semaines 6 et 9 pourraient être reportés,
respectivement, en semaines 7 et 10, sans passer sous le stock de sécurité. Si le responsable du
planning en prend la décision, le nouveau PDP sera celui de la figure 3.15.

PD    S2  S3  S4  S5  S6  S7  S8  S9  S10  S11
Prévisions de ventes      20  20  40  60  60  70  70  50  50
Commandes clients    20  40  30  10            
Stock prévisionnel  150  330  270  220  170  110  250  180  110  260  210
PDP                       
Fin    200          200      200  
Début            200      200    

                                                                Figure 3.15


Le PD est, en général, complété par le calcul du disponible à la vente. Ce disponible permet de
donner aux futures commandes des délais de livraison précis et fiables. Le disponible instantané se
calcule de la manière suivante :
-  pour les périodes où aucune production n'est planifiée, le disponible est nul;
-  pour les périodes où une production est planifiée, le disponible vaut la quantité produite
moins les commandes clients prévues jusqu'à (non compris) la période où une production
est, à nouveau, planifiée.
On peut, donc, à partir de la figure 3.13 établir le tableau de la figure 3.16.

    S1  S2  S3  S4  S5  S6  S7  S8  S9  S10
Commandes clients    50  20  15  10            
PDP fin      200        200      200  
Disponible instantané  0  0  155  0  0  0  200  0  0  200  0
Disponible cumulé  100  100  255  255  255  255  455  455  455  655  655

                                                                 Figure 3.16



Le PDP doit faire l'objet d'un contrôle de capacité plus fin que celui qui concerne le PIC.
 En effet, si le PDP dépasse les capacités de production, on assiste à une désastreuse augmentation
des stocks de matières premières et des en-cours
12
 avec la conséquence immédiate d'un
accroissement du lead-time
13
. Il s'agit d'une validation vitale ( appelée Rough Cut Capacity
Planning par opposition au Capacity Requirement Planning qui sera effectué à un niveau encore
plus détaillé).
                                                
12
Ces en-cours portent, en général, le délicieux nom de WIPs (Works In Process).
13
Le manufacturing lead-time est le temps qui s'écoule entre le lancement d'un ordre de fabrication et la mise à
disposition du produit.
  26
Par produit, on dispose de la charge induite dans les différents postes de travail. Prenons l'exemple
d'une fabrication de deux produits P1 et P2 nécessitant l'estampage, l'usinage et l'assemblage de
composants.

P1 (par unité)  S-2  S-1  S
Estampage  0.15 h  -  -
Usinage  -  0.4 h  -
Assemblage  -  -  0.5 h

     Figure 3.17


P2 (par unité)  S-2  S-1  S
Estampage  0.2 h  -  -
Usinage  -  0.5 h  -
Assemblage  -  -  0.7 h

     Figure 3.18

Supposons, en outre, que nous ayons le PDP (fin) suivant :

  S1  S2  S3  S4  S5  S6  S7  S8  S9  S10
P1  200    200  200    200    200    200
P2    150    150  150    150    150  

     Figure 3.19

Nous obtenons, aisément, le tableau de charge-capacité suivant :

(h)  S1  S2  S3  S4  S5  S6  S7  S8
Charge estampage  30  60  30  30  30  30  30  30
Capacité estampage  35  35  35  35  35  35  35  35
Charge usinage  75  80  155  75  80  75  80  75
Capacité usinage  100  100  100  100  100  100  100  100
Charge assemblage  100  105  100  205  105  100  105  100
Capacité assemblage  110  110  110  110  110  110  110  110

      Figure 3.20


En cas de surcharge, les remèdes classiques sont :
-  révision du PDP;
-  le recours aux heures supplémentaires;
-  l'appel à la sous-traitance;
-  le routage des pièces vers d'autres centres de charge;
- l'embauche.
  27

Dans le cas de la figure 3.20, on peut noter que les surcharges (estampage en S2, usinage en S3 et
assemblage en S4) sont dues aux réceptions simultanées de P1 et P2 en S4. Un lissage des charges
par révision du PDP semble peu prometteur vu la faible marge de capacité résiduelle. Il faudra donc
faire recours aux autres remèdes.

Remarquons, pour terminer, qu'une sous-charge systématique et répétitive des départements de
production est, également, une pathologie à investiguer soigneusement.




3.8   Le calcul des besoins (MRP I)

Le calcul des besoins repose sur :
-  les prévisions de vente
-  les stocks et les en-cours
-  les nomenclatures des produits
-  les gammes opératoires.

La précision du calcul dépend, par conséquent, directement de celle de ces informations.
Peuvent, donc, être considérés comme préalables à l'implantation d'un système MRP1 :
-  l'utilisation, par le service commercial, de méthodes fiables et éprouvées de prévision de
ventes
-  le suivi détaillé de la production (en particulier pour ce qui concerne les stocks et en-cours)
-  la description fine de la structure des produits fabriqués
-  l'explicitation et la formalisation des modes opératoires utilisés en production.

3.8.1   Notion de nomenclature (bill of material)

La nomenclature décrit la structure d'un produit en détaillant les ensembles, sous-ensembles,
composants et matières qui le composent. Elle fournit, en outre les délais d'obtention des différents
articles.
La figure 3.21 montre un exemple de nomenclature à quatre niveaux.

P
Délai : 0.5
SE1
Délai : 1
SE2
Délai : 2
*1 *2
C1
Délai : 3
C2
Délai : 2.5
C3
Délai : 2
C4
Délai : 3
C5
Délai : 2
*1 *2 *1 *2 *3
*0.01 *0.15 *0.1 *0.05 *0.1
M1
Délai : 5
M2
Délai : 4
M3
Délai : 5
M4
Délai : 4
M5
Délai : 4
Niveau 0
Niveau 1
Niveau 2
Niveau 3
P : Produit fini
SE : Sous-ensemble
C : Composant
M: Matière
Unité de temps : semaine


                                                Figure 3.21
  28

Un certain nombre de remarques s'imposent :
-  les relations entre les objets s'appellent des liens de nomenclature;
-  les unités utilisées pour les coefficients multiplicateurs sont tantôt un nombre d'articles,
tantôt une masse (en kg) de matière;
-  un article n'apparaît jamais qu'une fois par nomenclature et est au même niveau, le cas
échéant, dans diverses nomenclatures; c'est le niveau le plus profond qui est
systématiquement choisi : ceci permet d'allouer le stock disponible au besoin qui apparaît
le premier dans le temps;
-  un article virtuel est un sous-ensemble qui n'existe que transitoirement dans la mesure où
il est immédiatement inclus dans un ensemble; il n'est, donc, jamais stocké en tant que tel.
 
3.8.2  Méthode de calcul
Le calcul pour un article donné se fait de la manière suivante :
-  besoin brut = besoin indépendant (commandes clients) + besoin dépendant (générés par
des ensembles plus complexes auxquels l'article appartient)
-  stock disponible = stock physique - stock de sécurité + réceptions attendues
-  besoin net = besoin brut - stock disponible (non défini si la différence est négative)
-  ordre proposé = besoin net * ( 1 +  rebut).
L'ordre proposé sera transformé en ordre ferme d'achat ou de fabrication qui sera avancé dans le
temps, par rapport au moment où le besoin net doit être satisfait; cette avancée dans le temps
représente le délai entre le lancement de l'ordre et sa réception et tient compte de :
-  les temps d'attente avant exécution et transport
-  les temps d'exécution
-  le temps de transport
-  le temps de contrôle
-  le temps de changement de série éventuel

L'ordre génère, à son tour, des besoins en composants plus simples.

Prenons l'exemple de la nomenclature de la figure 3.22.

                             
SE
Délai : 1
C
Délai: 2
*2
M
Délai : 3
*0.1
SE : Sous-ensemble
C : Composant
M : Matière (achetée
à l'extérieur)
Niveau i
Niveau i + 1
Niveau i + 2


                                                                             Figure 3.22
  29

Les quantités économiques sont de 250 pour SE, de 500 pour C et de 200 pour M.
Avec un taux de rebut nul, on obtient le tableau représenté à la figure 3.23
Les données du calcul sont en grisé.

    S1  S2  S3  S4  S5
Niveau i            
Besoin brut    120  150  220  200  150
Réceptions attendues    0  0  0  0  0
Stock disponible  350  230  80  110  160  10
Ordre proposé   Fin        250  250  
Ordre proposé   Début      250  250    
Niveau i + 1            
Besoin brut      500  500    
Réceptions attendues    0  500  0  0  0
Stock disponible  100  100  100  100  100  100
Ordre proposé   Fin        500    
Ordre proposé   Début    500        
Niveau i + 2            
Besoin brut    50        
Réceptions attendues    0  0  200  0  0
Stock disponible  200  150  150  350  350  350
Ordre proposé   Fin            
Ordre proposé   Début            

                                                                       Figure 3.23

La figure 3.24 propose une nomenclature à plusieurs composants.

           
SE
Délai : 1
*2 *1
C1
Délai : 2
C2
Délai : 1
SE : Sous-ensemble
C : Composant
Niveau i
Niveau i + 1


                                                       Figure 3.24

  30

Ayant des quantités économiques de 200 pour SE, de 350 pour C1 et de 250 pour C2, on
obtient le tableau de la figure 3.25.


                           
    S1  S2  S3  S4  S5
SE            
Besoin brut    100  150  200  180  150
Réceptions attendues    0  0  0  0  0
Stock disponible  300  200  50  50  70  120
Ordre proposé   Fin        200  200  200
Ordre proposé   Début      200  200  200  
C1            
Besoin brut      400  400  400  
Réceptions attendues    0  350  0  0  0
Stock disponible  160  160  110  60  10  10
Ordre proposé   Fin        350  350  
Ordre proposé   Début    350  350      
C2            
Besoin brut      200  200  200  
Réceptions attendues    0  0  0  0  0
Stock disponible  100  100  150  200  0  0
Ordre proposé   Fin      250  250    
Ordre proposé   Début    250  250      

                                                                        Figure 3.25

Un dernier exemple générique est donné à la figure 3.26.

                     
SE1
Délai : 1
SE2
Délai : 2
C
Délai : 2
*1 *3
SE : Sous-ensemble
C : Composant
Niveau i
Niveau i + 1


                                                                      Figure 3.26

  31
  32

Avec des quantités économiques de 250 pour SE1, 200 pour SE2 et 500 pour C, on obtient la
figure 3.27. 

                                      
    S1  S2  S3  S4  S5
SE1             
Besoin brut    100  150  150  180  150
Réceptions attendues    0  0  0  0  0
Stock disponible  220  120  220  70  140  240
Ordre proposé   Fin      250    250  250
Ordre proposé   Début    250    250  250  
SE2             
Besoin brut    0  90  100  30  0
Réceptions attendues    0  0  0  0  0
Stock disponible  140  140  50  150  120  120
Ordre proposé   Fin        200    
Ordre proposé   Début    200        
C            
Besoin brut    850    250  250  
Réceptions attendues    500  0  0  0  0
Stock disponible  350  0  0  250  0  0
Ordre proposé   Fin        500    
Ordre proposé   Début    500        

                                                                   Figure 3.27

Dans les exemples précédents, les besoins nets étaient regroupés, comme c'est souvent le cas
en pratique, par quantités économiques. On peut imaginer de regrouper les besoins nets par
périodes; on décide, par exemple, de lancer les ordres couvrant les besoins nets au début de chaque
période de trois semaines (cf figure 3.28 avec un taux de rebut de 2%).

            
    S1  S2  S3  S4  S5  S6
Besoin brut    100  150  150  180  150  120
Réceptions attendues    0  0  0  0  0  0
Stock disponible (av. reg.)  220  120  0  0  0  0  0
Besoins nets (av. reg.)    -  30  150  180  150  120
Stock disponible (ap. reg.)  220  300  150  0  270  120  0
Ordre proposé  Fin    184      459    
Ordre proposé  Début  184      459      
                             
                                                                    Figure 3.28
  

  33
Il convient, enfin, de remarquer que le calcul des besoins ne fait que  proposer des ordres
d'achat ou de fabrication; c'est le responsable MR P qui transformera ces ordres proposés en ordres
fermes.

3.8.3     Calcul et suivi des charges détaillées

Le but de ce calcul est de vérifier que les besoins qui viennent d'être calculés peuvent être satisfaits
par les capacités de production disponibles. Quelques définitions s'imposent.
-  Centre (ou poste) de charge : il s'agit d'un groupe de ressources de production  auquel est
destiné un ordre de fabrication  issu du calcul précédent; cet ensemble permet, donc, de
progresser d'un niveau dans la nomenclature correspondante.
-  Charge : c'est, pour chaque ordre, le temps éventuel de changement de série (set-up time)
augmenté du temps nécessaire à la fabrication du nombre d'articles prévus dans ledit
ordre. La charge se mesure, donc, en heures.
-  Profil de charge : il s'agit, pour chaque centre  de charge, de l'évolution de la charge au
cours du temps; en comparant ce profil à la capacité disponible (également exprimée en
heures), on met facilement en évidence les périodes de sous-charge et de surcharge. On
peut, également, détecter les goulets d'étranglement (en surcharge prolongée) transitoires
ou permanents.  


Pour concrétiser les choses, imaginons un centre de charge ayant une capacité constante de 400
heures par semaine. Les entrées prévisionnelles, pour chaque semaine, correspondent à la charge
induite par tous les ordres lancés cette semaine là. Le profil de charge correspondant est donné à la
figure 3.29 (les données sont en grisé). 
                     
                    
    S1  S2  S3  S4  S5
Entrées prévisionnelles    360  495  480  350  410
Sorties prévisionnelles    400  400  400  400  400
Charge prévisionnelle  1100  1060  1155  1235  1185  1195
                           

                                                                                  Figure 3.29

Une augmentation  de la charge à capacité constante entraîne, inévitablement, un accroissement du
délai de fabrication. En S3, par exemple, le délai est de 1235 / 400 = 3.1 semaines alors qu'il n'était
que de 1060 / 400 =    2.6 semaines en S1. Il est, donc, important d'identifier les périodes de
surcharge (cf figure 3.30).

  S1  S2  S3  S4  S5
Besoin en capacité  360  495  480  350  410
Capacité  400  400  400  400  400
Besoin / Capacité (%)  90  124  120  88  103
  
                                                                        Figure 3.30

  34
La surcharge peut être résorbée par un accroissement temporaire de la capacité (heures
supplémentaires, personnel intérimaire,...) ou un lissage de la charge (par avance ou retard de
certains ordres).

Il est intéressant de suivre les profils de charge correspondant aux différents centres de manière à
vérifier que le délai utilisé dans la nomenclature est conforme au délai moyen observé en atelier. La
figure 3.31 donne le profil de charge pour un centre donné.

  S-3  S-2  S-1  S1  S2  S3
Entrées            
Prévisionnelles  435  350  410  390  380  380
Réelles  390  340  420      
Sorties             
Prévisionnelles  400  400  400  400  400  400
Réelles  390  380  420      
Charge            
Prévisionnelle  1235  1150  1170  1150  1130  1110
Réelle  1200  1160  1160      

                                                                             Figure 3.31

La moyenne sur 3 semaines de la capacité réelle est de 397 heures/semaine, celle des charges
réelles est de 1.173 heures. Le délai moyen d'obtention de l'article est, par conséquent de 1.173 /
397 = 3 semaines. Il convient, le cas échéant, de réactualiser ce délai dans la nomenclature ou de
prendre des actions pour le modifier.


3.8.4  Extension au cas du Make-To-Order

La présentation classique du calcul des besoins correspond à une stratégie MTS où les quantités des
divers produits finaux à fabriquer sont prédétermi nées dans un  cadre prévisionnel supposé fiable.
L’environnement MTO travaille, à cet égard, d’une manière moins déterministe et peut rencontrer
certaines difficultés d’approvisionnement si les délais relatifs aux matières premières utilisées sont
importants.
Une première approche consiste à gérer le stock de matières avec une stratégie de point de
commande basée sur une estimation de la consommation moyenne.
Une approche plus sophistiquée (correspondant à des stocks plus légers) consiste à adapter quelque
peu la version classique du calcul des besoins.
Illustrons cela par l’exemple d’un fabricant de boîtes aux lettres privées et publiques (découpe-pliage-soudage de tôles) fournissant sur commande 3 familles de modèles en 2 matériaux.
Les produits sont notés PB1 (Petite Boîte, matériau 1), MB1 (Moyenne Boîte, matériau 1),GB1
(Grande Boîte, matériau 1), MB2, et GB2.
Les petites boîtes existent en un seul matériau; leur masse est d’un kilogramme. 
Les moyennes boîtes existent en deux matériaux; leur masse est de deux kilogrammes; en moyenne,
60% d’entre elles sont en matériau 1 et 40% en matériau 2.
Les grandes boîtes existent en deux matériaux; leur masse est de cinq kilogrammes; en moyenne,
20% d’entre elles sont en matériau 1 et 80% en matériau 2.  
  
 
Les nomenclatures génériques des diverses boîtes sont données à la figure 3.32.



  PB   MB
*0.6*2  *0.2*5 *0.4*2 *0.8*5 *1
Mat1 Mat2  Mat2 Mat1  Mat1
  GB







                                                          Figure 3.32

L’année précédente, 3.500 (70 par semaine) boîtes ont été fabriquées dans les proportions 
suivantes :
-  2.000 petites boîtes;
-  1.000 moyennes boîtes;
-  500 grandes boîtes.

On peut donc établir, à la figure 3.33, la nomenclature d’une boîte générique.


*1.000/3.500 *2.000/3.500
GB  MB PB
B



*500/3.500




                                                        Figure 3.33



En combinant 3.32 et 3.33, on obtient la nomenclature générique de la figure 3.34

  35



*1.06
Mat 2  Mat 1
   B



*0.8



                                                         Figure 3.34

Le PDP prévoit la fabrication de 70 B par semaine.
Le besoin dépendant en Mat 1 et Mat 2 est, par conséquent, donné à la figure 3.35 .

  S1  S2  S3  S4  S5  S6  S7  S8  S9  S10
B  70  70  70  70  70  70  70  70  70  70
Mat 1  74.2  74.2  74.2  74.2  74.2  74.2  74.2  74.2  74.2  74.2
Mat 2  56  56  56  56  56  56  56  56  56  56

Figure 3.35

La table de la figure 3.35 est modifiée chaque fois qu’une commande ferme pour un type de boîte
est enregistrée. On incrémente la quantité du type de boîte correspondant et on décrémente la
quantité de B générique de la même semaine.
La figure 3.36 montre une telle utilisation. 

  S1  S2  S3  S4  S5  S6  S7  S8  S9  S10
B  0  0  0  20  20  20  70  50  70  70
PB1  40  40  40  20  20  20  0  0  0  0
MB1  30  0  0  0  30  0  0  0  0  0
GB1  0  30  0  0  0  0  0  0  0  0
MB2  0  0  30  30  0  0  0  20  0  0
GB2  0  0  0  0  0  30  0  0  0  0
Mat 1  100  190  40  41.2  101.2  41.2  74.2  53  74.2  74.2
Mat 2  0  0  60  76  16  166  56  80  56  56

Figure 3.36
  36

4 Nouvelles approches

4.1 Introduction

Depuis quelques années, des approches alternatives ont été décrites dans la littérature et mises en
oeuvre, avec un succès étonnant parfois, dans des environnements productifs réels.
Pour mettre concrètement en évidence les avantages et inconvénients des diverses propositions,
nous allons prendre l'exemple simple d'une cellule de production constituée de trois stations en série
(cf figure 4.1)





Station 3
En-cours 2

Station 2
En-cours 1

Station 1

Figure 4.1

Nous supposerons que les trois stations sont capables de produire 2, 3  ou 4 pièces par jour,
chaque quantité étant équiprobable. Vu que 2 est le déséquilibre maximum entre les productions
journalières des stations, il paraît raisonnable de prévoir des en-cours pouvant contenir un
maximum de deux pièces. La figure 4.2 donne l'évol ution de la production pendant 10 jours, ainsi
que les moyennes correspondant à une production de 1000 jours (les en-cours initiaux sont de 2
pièces).

Jour  Stat1  Cap1  Prod1  En-cours1
Stat 2  Cap2 Prod2 En-cours2
Stat 3  Cap3 Prod3
1  0,267444  2  2  2  0,566964  3  3  2  0,363055  3  3
2  0,778245  4  4  1  0,77331  4  4  2  0,889334  4  4
3  0,352073  3  3  1  0,357191  3  2  2  0,17995  2  2
4  0,924658  4  2  2  0,496383  3  2  2  0,188188  2  2
5  0,276082  2  2  2  0,403897  3  3  2  0,88631  4  4
6  0,607847  3  3  1  0,665408  3  3  1  0,18478  2  2
7  0,880589  4  3  1  0,933489  4  2  2  0,002246  2  2
8  0,474636  3  2  2  0,27021  2  2  2  0,947837  4  4
9  0,61275  3  3  2  0,91472  4  4  0  0,676141  4  4
10  0,032028  2  2  1  0,59574  3  3  0  0,978328  4  3

  0,491263  2,978  2,7  1,2  0,495651  2, 988 2,702 0,826  0,499059  2,996 2,702


Figure 4.2

Les colonnes Stati représentent des nombres aléatoi res compris entre 0 et 1 (distribution uniforme).
La capacité de la station i est déterminée par :
-  si Stati < 0.33 alors Capi  =  2
  37
- si 0.33  ≤  Stati < 0.66 alors Capi = 3
- si Stati  ≥  0.66 alors Capi = 4.

Les productions des trois stations  sont données par les équations suivantes :
-  Prod3 = MIN (CapAmont3 + En-cours2 ; Cap3) 
-  Prod2 = MIN (CapAmont2 + En-cours1 ; 2 – En-cours2 + Prod3 ; Cap2)
-  Prod1 = MIN ( 2 - En-cours1 + Prod2 ; Cap1)
    où CapAmont3 = MIN(Cap2 ; En-cours1 + CapAmont2) et CapAmont2 = Cap1

L'en-cours se calcule par :
-  En-cours1 ( t ) = En-cours1 ( t-1 ) + Prod1 ( t-1 ) - Prod2 ( t-1 )
-  En-cours2 ( t ) = En-cours2 ( t-1 ) + Prod2 ( t-1 ) – Prod3 ( t-1 )

On constate que la production moyenne de la cellule ( 2.702 )  est inférieure de  10 % à la capacité
moyenne des stations ( 3 ). Le temps moyen de fabrication est, quant à lui, égal à 1/2.70 + 1.2/2.70
+ 1/2.70 + 0.83/2.70 + 1/2.70 = 1.9 jour avec une dispersion assez faible. Face à cette situation, on
peut envisager trois approches alternatives : la méthode classique, la théorie des contraintes et la
méthode JIT (Just In Time). Nous allons examiner l'impact de ces approches sur l'exemple concret
de la figure 4.1.

4.1.1   Méthode classique

L'approche classique identifie la limite des en-cours ( 2 ) comme étant responsable de la
faible productivité de la cellule; on décide donc de déplafonner les en-cours. La figure 4.3 donne
l'évolution de la production pendant 10 jours, ainsi que les moyennes correspondant à une
production de 1000 jours (les en-cours initiaux sont de 2 pièces).


Jour  Stat1  Cap1  Prod1  En-cours1
Stat 2  Cap2 Prod2 En-cours2
Stat 3  Cap3 Prod3
1  0,526702  3  3  2  0,80908  4  4  2  0,367286  3  3
2  0,952741  4  4  1  0,190161  2  2  3  0,325624  2  2
3  0,077412  2  2  3  0,786485  4  4  3  0,162849  2  2
4  0,47099  3  3  1  0,279032  2  2  5  0,553507  3  3
5  0,807209  4  4  2  0,579999  3  3  4  0,200718  2  2
6  0,327595  2  2  3  0,381036  3  3  5  0,467143  3  3
7  0,020565  2  2  2  0,184604  2  2  5  0,210751  2  2
8  0,993453  4  4  2  0,909992  4  4  5  0,242468  2  2
9  0,486476  3  3  2  0,890436  4  4  7  0,181482  2  2
10  0,546  3  3  1  0,475226  3  3  9  0,402787  3  3


  0,506412  3,034  3,034  30.90  0,493612  2, 977 2,967 9,27  0,498672  2,996 2,958


                                                                      Figure 4.3

Cette fois, les productions et les en-cours sont donnés par :
  38
-  Prod3 = MIN ( CapAmont3 + En-cours2 ; Cap3 )
-  Prod2 = MIN ( CapAmont2 + En-cours1 ; Cap2 )
-  Prod1 = Cap1
               où CapAmont3 = MIN(Ca p2 ; En-cours1 + CapAmont2) et CapAmont2 = Cap1
-  En-cours1 ( t ) = En-cours1 ( t-1 ) + Prod1 ( t-1 ) - Prod2 ( t-1 )
-  En-cours2 ( t ) = En-cours2 ( t-1 ) + Prod2 ( t-1 ) – Prod3 ( t-1 )

On constate une augmentation sensible de la production moyenne de la cellule; celle-ci est
inférieure à 3 parce que l' en-cours atteint la valeur 0 à certains moments (cela signifie que l'en-cours initial de 2 n'est pas suffisant pour assurer un découplage intégral entre les stations).
Deux inconvénients majeurs liés à un en-cours important (valeurs maxima de 61 et 23, valeur
minimum de 0, valeurs moyennes de 30.9 et 9.27) doivent être mentionnés :
- l' immobilisation financière liée à l'en-cours a été multipliée par 20
- le temps de fabrication (lead time) est devenu beaucoup plus long et plus aléatoire; il varie
en effet de 1.0 ( 1/3.03 + 0/2.97 + 1/2.97 + 0/2.96 +1/2.96) à 29.3 (1/3.03 + 61/2.97 + 1/2.97 +
23/2.96 + 1/2.96) jours, avec une moyenne de 14.5 (1/3.03 + 30.9/2.97 + 1/2.97 + 9.27/2.96 +
1/2.96) jours.



4.1.2 Approche JIT
14


La philosophie JIT consiste à s'attaquer à la racine du mal plutôt que de se protéger contre lui.
Dans notre cas particulier, cela signifiera réduire la variabilité des 3 stations tout en maintenant
strictement l'en-cours en dessous de 2 pièces. 

 La production potentielle de la station i est, dès lors, déterminée par :
- si Stati < 0.1 alors Capi  =  2
- si 0.1 ≤  Stati < 0.9 alors Capi = 3
- si Stati  ≥  0.9 alors Capi = 4.

La figure 4.4 donne l'évolution de la production pendant 10 jours, ainsi que les moyennes
correspondant à une production de 1000 jours (les en-cours initiaux sont de 2 pièces).

  39
                                                
14
Just In Time


Jour  Stat1  Cap1  Prod1  En-cours1
Stat 2  Cap2 Prod2 En-cours2
Stat 3  Cap3 Prod3
1  0,830009  3  3  2  0,732019  3  3  2  0,367501  3  3
2  0,903026  4  3  2  0,434846  3  3  2  0,832411  3  3
3  0,320413  3  3  2  0,986664  4  3  2  0,239267  3  3
4  0,05026  2  2  2  0,81764  3  3  2  0,249856  3  3
5  0,049687  2  2  1  0,190255  3  3  2  0,706509  3  3
6  0,833643  3  3  0  0,41762  3  3  2  0,653935  3  3
7  0,509432  3  3  0  0,341931  3  3  2  0,317914  3  3
8  0,445048  3  3  0  0,022951  2  2  2  0,615376  3  3
9  0,81584  3  3  1  0,579563  3  3  1  0,101502  3  3
10  0,062143  2  2  1  0,513365  3  3  1  0,97294  4  4


  0,495185  2,999  2,893  1,167  0,494768  2, 993 2,895 0,674  0,494037  3,007 2,897



                                                      Figure 4.4

On constate une augmentation de la production moyenne à 2.9; ce résultat est inférieur à
celui obtenu par la méthode classique mais, ici, le lead time moyen est de 1.7 (1/2.89 + 1.16/2.90 +
1/2.90 + 0.67/2.90 + 1/2.90) avec une faible dispersion.
Réduire la variabilité des stations peut être une opération relativement coûteuse surtout si
elle est induite par des facteurs extérieurs tels la qualité des matières premières ou l'absentéisme
humain.

4.1.3  Théorie des contraintes

Cette approche, que nous détaillerons plus loin, identifie un goulet et focalise toute son
attention sur ledit goulet. Un buffer lui est adjoint de manière à éviter de le mettre en attente; un
suivi particulier permet de réduire sa variabilité (cette préoccupation ici  est un peu moins
obsessionnelle qu'en JIT); enfin, chaque fois que l'en-cours du goulet a tendance à s'annuler, une
action spéciale est exécutée en amont de manière à reconstituer ce stock aussi rapidement que
possible. Nous supposerons, ici, que le goulet est la station 3. Son buffer (En-cours2) va être porté à
un maximum de 4 articles.
Compte tenu de la simulation des actions spéciales en amont du goulet, nous allons supposer
que la variabilité des stations se définit (pour i = 1,2) par :

-  si Stat3 < 0.20 alors Cap3  =  2
- si 0.20  ≤  Stat3< 0.80 alors Cap3  =  3
- si Stat3  ≥  0.80 alors Cap3 =  4
-  si En-cours2 > 2 
-  si Stati < 0.33 alors Capi  =  2
- si 0.33  ≤  Stati < 0.66 alors Capi  = 3
- si Stati  ≥  0.66 alors Capi  = 4
-  si 0 < En-cours2  ≤  2
  40
-  si Stati < 0.50 alors Capi  =  3
- si Stati  ≥  0.50 alors Capi  = 4
-  si En-cours2 = 0 alors Capi  = 4.


La figure 4.5 donne l'évolution de la production pendant 10 jours, ainsi que les moyennes
correspondant à une production de 1000 jours (En-cours1 initial est de 2 pièces, En-cours2 initial
est de 4 pièces).


Jour  Stat1  Cap1  Prod1  En-cours1
Stat 2  Cap2 Prod2 En-cours2
Stat 3  Cap3 Prod3
1  0,384453  3  3  2  0,92897  4  3  4  0,621717  3  3
2  0,270662  2  2  2  0,098891  2  2  4  0,419138  3  3
3  0,562611  3  3  2  0,615438  3  3  3  0,429872  3  3
4  0,985946  4  2  2  0,183683  2  2  3  0,165285  2  2
5  0,478285  3  3  2  0,450817  3  3  3  0,681875  3  3
6  0,909787  4  2  2  0,225199  2  2  3  0,889408  4  4
7  0,089201  3  3  2  0,253418  3  3  1  0,030918  2  2
8  0,859557  4  4  2  0,9177  4  4  2  0,947636  4  4
9  0,946702  4  4  2  0,770928  4  4  2  0,490676  3  3
10  0,13685  2  2  2  0,219941  2  2  3  0,250534  3  3

  0,492051  3,182  3,006  1,094  0,501235  3, 229 3,006 2,689  0,504521  3,006 3,006


                                                                    Figure 4.5

On constate que la production journalière moyenne s'établit, cette fois, à 3; le lead time
moyen est de  2.26 (1/3 + 1.09/3 + 1/3 + 2.69/3 +  1/3) jours avec une dispersion très acceptable. On
peut, donc, considérer que la théorie des contraintes obtient de meilleurs résultats en production que
JIT en exigeant moins d'efforts au niveau des stations ; l'augmentation de 2.90 à 3 (3%) ne réclame
qu'un léger accroissement de la capacité d’ En-cours2 (2 unités) et un allongement de 0.6 jour du
lead time moyen. Ce résultat a été atteint en déséquilibrant la cellule (les capacités moyennes des
stations 1 et 2 ont été portées à 3.18 et 3.23 respectivement).  
Nous allons examiner le détail des deux dernières méthodes.

  41
  42
                                               

4.2  Théorie des contraintes

4.2.1  Les étapes de la démarche

Il est impératif de définir, tout d'abord, la notion de contrainte. Une contrainte est quelque chose qui
limite les performances d'un système productif. On distingue, à cet égard, deux types de contraintes
:
-  les contraintes de ressource interne; reprenons le cas de la figure 4.1 et supposons que le
marché demande une moyenne de 4 pièces par jour. Dans ce cas, la station 2 (ou la station
1) est clairement avec sa capacité moyenne de 3 pièces par jour une contrainte de
ressource interne.
-  les contraintes de marché; dans le même cas de la figure 4.1 avec une demande de 2 pièces
par jour, nous avons une contrainte de marché dans la mesure où la station la moins
capable pour cette pièce a néanmoins une capacité supérieure à la demande.

La démarche consiste, alors, à parcourir, itérativement, les 4 étapes suivantes :
1.  identifier la contrainte du système productif,
2.  établir une procédure d'exploitation de la contrainte,
3.  subordonner toutes les actions à la procédure établie en 2,
4.  élever la contrainte, c'est-à-dire atteindre des performances supérieures pour le système
productif. Cette élévation de contrainte conduit généralement à un changement de contrainte,
d'où l'itération.


Pour concrétiser les choses, reprenons l'exemple de la figure 4.1 avec une demande journalière de
3.5 pièces et appliquons lui la démarche telle qu'elle vient d'être définie.

1a.  La station 3

est identifiée comme contrainte de ressource interne
15
 , avec sa capacité moyenne
journalière de 3 pièces.

2a.  L'exploitation de ladite contrainte consiste à la protéger en créant un stock tampon et à réduire
sa variabilité. On peut, également, prévoir un contrôle de qualité juste avant passage sur la
contrainte de manière à éviter que celle-ci ne consacre du temps à une pièce déjà défectueuse. 







15
La station 1 ou 2 auraient pu être séléctionnées sur base des mêmes critères.
  43
                                               
Une dernière action envisageable est de revoir les proportions des diverses séries produites (product
mix) en termes de profit car il peut être intéressant de privilégier les séries qui utilisent le moins la
contrainte
16
.

3a.  La production des stations 1 et 2 sont subordonnées à la contrainte en limitant la taille du stock
tampon à 4. Cela signifie que les stations 1 et 2 sont arrêtées chaque fois que le stock tampon  de la
contrainte est plein et, par contre, qu'elles sont dopées chaque fois que le stock tampon se vide
dangereusement.

4a.  L'élévation de la contrainte ne peut se faire, dans le cas qui nous occupe, que par accroissement
de la capacité de la station 3 ( heures supplémentaires ou achat d'une machine plus performante ) ou
par recours à la sous-traitance.  Supposons qu'un sous-traitant fournisse à l'atelier une pièce
supplémentaire par jour; ceci porte la capacité moyenne journalière de l'atelier à 4 pièces par jour
et, par conséquent, c'est le marché ( avec une demande journalière de 3.5 unités ) qui devient la
nouvelle contrainte. Il est crucial de déceler, à temps,  le changement de contrainte car le maintien
des procédures habituelles conduirait à alourdir le stock de produits finis au rythme de 0.5 unités
par jour.

1b.  Le marché est la nouvelle contrainte.

2b.  L'exploitation de cette nouvelle contrainte consiste à valoriser le fait que l'on dispose d'une
surcapacité de production; on peut, donc, réduire fortement les stocks et, par conséquent, les lead
times ainsi que les coûts d'exploitation. Ce nouvel avantage permettra sûrement d'ouvrir de
nouveaux marchés. La contrainte risque de changer, à nouveau
17
. Et ainsi de suite. 

16
En effet prenons l'exemple d'une contrainte de ressource  interne ayant une capacité hebdomadaire de 168 heures ( 24
heures par jour, 7 jours sur 7) et capable de produire des pièces P1 et P2.  Les données sont présentées ci-après.

Pièce  Temps de passage sur contrainte  Profit  Marché hebdomadaire
P1  2 heures  1000 FB  50 pièces
P2  0.5 heure  500 FB  300 pièces

Deux mixes sont possibles :

  Proportions  Profit  Temps de passage sur contrainte
Mix 1  50 P1  50000 FB  100 heures
  136 P2  68000 FB  68 heures
Total    118000 FB  168 heures
Mix 2  300 P2  150000 FB  150 heures
  9 P1  9000 FB  18 heures
Total    159000 FB  168 heures

Ce résultat provient du fait que P2 est plus profitable par heure de la contrainte (500/0.5 = 1000 FB/heure) que
P1(1000/2 = 500 FB/heure)

17
Le caractère changeant de la contrainte  doit, impérativement être accompagné  d'un changement de comportement de
tout le personnel de l'atelier. Celui-ci est, à l'heure actuelle, souvent trop peu flexible.
  44
                                               

4.2.2  La planification drum-buffer-rope

La théorie des contraintes dissocie, clairement, le lot de production du lot de transfert. Le lot de
production représente le nombre d'articles produits sur une station  entre deux changements de série
tandis que le lot de transfert concerne le nombre de pièces transportées d'une station à une station
aval. Il faut remarquer que, dans beaucoup d'ateliers, ces deux lots sont, pour des raisons diverses
mais non rationnelles, égaux. Si on peut comprendre que la taille minimum du lot de production soit
imposée par des considérations liées au coût du changement de série (setup), il n'en va pas de même
pour le lot de transfert. Or il faut être conscient qu'une taille exagérée du lot de transfert conduit à
des lead times et des en-cours anormalement élevés. Pour fixer les idées, on peut reprendre
l'exemple de la figure 4.1; si nous supposons que la taille commune des deux lots est 150 articles
pour un temps de travail d'une demi-heure sur chaque station, on obtient :
-  un lead time de 225 heures ( près de 1 semaine) pour un temps de travail d'une heure et
demie,
-  un en-cours moyen de 75 pièces au pied de la station 1 et de 150 pièces au pied des
stations 2 et 3.

La théorie des contraintes prend le contrepied de cette tendance trop répandue en proposant de
minimiser le plus possible
18
 la taille du lot de transfert. Dans l'exemple de la figure 4.1, avec une
taille unitaire du lot de transfert, on obtient :
-  un lead time de 76heures,
-  un en-cours moyen de 75 pièces au pied de la station 1 et de 1 pièce au pied des stations 2
et 3.

La trajectoire d'un article dans un atelier gouverné par la théorie des contraintes, consiste en :
-  un transit très rapide
19
 du magasin de matières premières au stock de la contrainte,
-  un séjour d'une certaine durée dans le stock de la contrainte (supposée de ressource
interne),
-  un transit très rapide de la contrainte  au stock d'expédition.

La planification de la production dans l'atelier fait, donc, intervenir trois éléments 
importants :
-  la planification détaillée de la contrainte (appelé le cabestan),
-  les temps nécessaires au transit du magasin à la contrainte ( appelé le câble liant le
magasin à la contrainte) et de la contrainte à l'expédition (appelé le câble liant la
contrainte à l'expédition). 
On appelle stock de la contrainte l'ensemble des articles se trouvant en amont de la contrainte et
devant y subir un travail; une partie du stock est réel : c'est celle qui se trouve, physiquement, dans
le stock tampon décrit plus haut; l'autre partie est virtuelle et constituée de tous les articles en route
vers la contrainte. La taille de ce stock se mesure, en général, en unité temporelle (temps nécessaire
a la contrainte pour traiter tous les articles dudit stock); la taille du stock est égal, bien sûr, à la
longueur du premier câble. Son rôle est clairement de protéger la contrainte, c'est-à-dire d'éviter
qu'elle soit obligée de s'arrêter suite à un manque de travail.
De la même manière, on appelle stock de l'expédition l'ensemble des articles se trouvant en aval de
la contrainte et ayant subi un travail au niveau de la contrainte
20
; à nouveau, la taille de ce stock

18
OPT propose clairement une taille unitaire pour le lot de transfert argumentant que  la plupart des opérateurs
travaillent sur des stations autres que la contrainte et qu'ils peuvent, par conséquent, consacrer une partie de leur temps
au transport des pièces. Dans certains cas, les ressources de transport nécessitent, elles-mêmes, un temps de set-up et,
par conséquent on peut admettre des tailles légèrement supérieures à l'unité.
19
Comme le lot de transport a une taille unitaire, il n'y a, en principe, aucun temps d'attente en chemin.
  45
(exprimée en nombre d’articles de chaque type) est égale à la longueur du second câble. Son rôle
est de protéger l'expédition c'est-à-dire les délais de livraison promis à la clientèle.
Enfin, on prévoit, en général, un troisième stock ( dit stock d'assemblage) dont le rôle est de stocker
aux diverses stations d'assemblage les composants non-contraints (ne devant subir aucun travail sur
la contrainte) devant être assemblés à des composants contraints (qui, eux, doivent être travaillés
sur la contrainte).

La planification drum-buffer-rope consiste, donc, à :
-  identifier la contrainte de ressource interne,
-  planifier l'activité de la contrainte ( c'est-à-dire du cabestan),
-  fixer la longueur du premier câble (ce qui revient à déterminer la taille du stock de la
contrainte),
-  fixer la longueur du deuxième câble (ce qui revient à déterminer la taille du stock de
l'expédition).
Il faut remarquer que le problème complexe de la  planification de la production d'un environnement
multiressource a été réduit à celui de la planification des opérations d'une machine unique. D'autre
part, la taille des stocks dépend de la variabilité des ressources et de leur surcapacité éventuelle.

Ce qui se passe entre le magasin et la contrainte est le symétrique de ce qui se passe entre la
contrainte et l’expédition; dans la suite, nous nous concentrerons sur la première partie et tout ce
que nous en dirons pourra être, mutatis mutandis, transposé au niveau de la seconde.

Supposons que le plan de travail de la contrainte soit donné par la figure 4.6.

Type d'article  Taille du lot  Temps de travail (heures)
A1  24  6
A2  30  3
A3  50  10
A4  60  20

                                                        Figure 4.6

La taille du stock de la contrainte est supposée être de 15 heures; ce stock est divisé en trois régions
de 5 heures chacune (la première pièce de la région 1 est celle qui est sur le point d'être traitée par la
contrainte).
L'évolution temporelle du stock de la contrainte peut être représenté par la figure 4.7.
                                                                                                                                                                 
20
Certains articles ne passent pas, dans l'exécution de leur gamme opératoire, par la contrainte; ils ne sont pas pris en
compte dans le calcul des stocks de la contrainte et de l'expédition.
  46

Temps (heures)  Région 1  Région 2  Région 3
0  A1 A1 A1 A1 A1  A1 A2 A2 A2 A3   A3 A3 A3 A3 A3
1  A1 A1 A1 A1 A1  A2 A2 A2 A3 A3   A3 A3 A3 A3 A3
2  A1 A1 A1 A1 A2  A2 A2 A3 A3 A3  A3 A3 A3 A3 A3
3  A1 A1 A1 A2 A2  A2 A3 A3 A3 A3  A3 A3 A3 A3 A3
4  A1 A1 A2 A2 A2  A3 A3 A3 A3 A3  A3 A3 A3 A3 A3
5  A1 A2 A2 A2  A3  A3 A3 A3 A3 A3  A3 A3 A3 A3 A4
                                                                        
                                                               Figure 4.7

Les articles présents dans le stock réel sont représentés en caractères gras.
Normalement, tous les articles des régions 1 et 2 doi vent se trouver dans le stock réel. Si un article
de la région 2 n'est pas dans le stock réel (ce qui est le cas dès l'instant initial), une investigation est
menée et une action corrective est lancée pour éviter ce phénomène dans l'avenir. Si un article de la
région 1 manque dans le stock réel (c'est le cas à l'heure 5), une intervention d'urgence est
programmée et exécutée de manière à reboucher le trou correspondant dans le stock.

On voit que la philosophie théorie des contraintes tend à améliorer sans cesse le fonctionnement de
l'environnement productif en focalisant son effort  sur ce qui provoque les trous les plus importants
et les plus sévères dans le stock. Quand ces trous ont disparu, une tentative de réduction du stock
est faite.

Signalons que les deux autres stocks peuvent être gérés de la même manière.

  47
                                               

4.2.3  Les indicateurs de performance

Pour inciter les opérateurs (contraint et non-contraints) à travailler correctement, on utilise des
indicateurs assortis de pénalités (qui, en général, grignotent des primes extra-salariales).

Tout indicateur basé sur le degré d'utilisation des ressources de production (temps de travail,
nombre de pièces produites,..) doit être proscrit dans le cadre de la théorie des contraintes puisque
les ressources autres que la contrainte sont volontairement sous-utilisées. Un indicateur idoine
mesure l'écart de production par rapport à la planification :
-  l'avance par rapport à la planification sera pénalisée par le coût du stock excédentaire créé
(par rapport à la planification) ; ce coût s'exprime en pénalité d’avance.
-  le retard par rapport à la planification sera pénalisée par le manque à gagner de l'entreprise
résultant du retard; ce manque s'exprime en pénalité de retard.

Tous les opérateurs disposent d’un display (remis à jour dynamiquement) leur montrant les
indentificateurs des pièces se trouvant dans les trois régions du stock de la contrainte.

Opérateur contraint :
toute déviation, en avance ou en retard
21
 par rapport au planning, est sanctionnée en pénalités
d’avance et/ou de retard. En fait l'incitant à suivre le planning est double : en effet l'article travaillé
à la place d'un autre génère des pénalités d’avance tandis que l'article qui aurait dû être traité génère
des pénalités de retard.

Opérateur non-contraint :
-  il n'accepte de travailler un article qui lui arrive que s'il fait partie du stock courant aval
(de la contrainte ou de l'expédition selon le cas); tout autre décision génère des pénalités
d’avance. Il suffira de laisser passer suffisamment de temps pour que l'article apparaisse
dans le stock courant.
-  il donne la priorité à un article qui apparaît en région 1 ou 2 du stock car cet article génère
des pénalités de retard jusqu'à ce qu'il soit passé à la station aval.
-  il traite, sans pénalité d'aucune sorte, un article qui se trouve en région 3  du stock. Si cet
article n'est pas traité dans des délais raisonables, il apparaîtra en région 2 du stock et
génèrera des pénalités de retard.


21
Sauf au cas où le retard est dû au fait que le stock réel de la  contrainte est vide; dans ce cas, c'est la station qui retient
l'article qui est pénalisé en pénalités de retard.
  48

4.3  JIT (Just In Time )

4.3.1 Philosophie

La philosophie JIT consiste en un nombre limité de principes à caractère universel :
-  Tout ce qui n'est pas une source de valeur ajoutée pour les produits doit être détecté et
éliminé. La valeur ajoutée doit être entendue soit comme une augmentation de
performances ou de qualité à coût égal soit comme une réduction de coût à performances
et qualité égales.
-  Les problèmes de production doivent être résolus et non contournés par des pseudo-solutions qui permettent de s'en accommoder.
-  La survie et le développement de l'entreprise supposent l'engagement de tous les
travailleurs; un effort particulier doit être fait pour que tous puissent faire des suggestions
pour ce qui concerne l'augmentation de la valeur ajoutée. L'idée maîtresse est que ce sont
les opérateurs d'une station de production qui en  connaissent le mieux les faiblesses et les
défauts.

Concrétisons  les deux premiers principes en prenan t l'exemple des stocks et en-cours. On sait qu'ils
allongent les lead times et les coûts (par les immobilisations financières qu'ils occasionnent).
D'autre part ces stocks ont été créés pour masquer des problèmes de grande variabilité productive (
au niveau des stations de production et des opérateurs), de faible fiabilité ( au niveau des prévisions
de vente, des fournisseurs, des équipements internes de production, ...), de temps de changement de
série trop longs ou de taux de rebut anormalement élevés. Ces stocks et en-cours font, donc, l'objet,
dans le cadre JIT, d'une diminution graduelle et systématique.

Pour atteindre ces objectifs, la démarche JIT se focalise sur les points suivants :
-  les changements de série ( setups ); la réduction de leur durée a une conséquence
immédiate sur la taille des lots de production ( dans le sens de la diminution ) et donc sur
le lead time et les stocks ( dans le sens de la diminution ). La réduction des temps de
changement de série peut se faire en identifiant, soigneusement , les éléments externes (
qui peuvent et doivent être exécutés pendant  le travail de la station de production
concernée) des éléments internes ( qui réclament l'arrêt de la station ); seuls ces derniers
contribuent nécessairement au temps de changement de série. On peut réduire l'impact des
éléments internes en faisant recours à des technologies avancées (changement
automatique d'outils, serrages et palettes modulaires,..).
-  la maintenance préventive et/ou prédictive généralisée en lieu et place de la maintenance
curative; on sait que la panne d'une station de production crée des en-cours en amont et
provoque l'arrêt des ressources en aval. En outre une certaine quantité de rebut est
produite avant l'arrêt total de la station défaillante. Enfin, un contrôle régulier permet de
réduire la variabilité productive des équipements. On a, donc, intérêt à faire recours à une
maintenance préventive ou prédictive qui a le grand mérite de pouvoir être planifiée et
donc programmée à un moment où la ressource concernée peut être mise à l'arrêt sans
conséquences pour l'atelier.
-  l'obsession de la qualité; la non-qualité est, pour la première fois perçue comme ayant un
impact très négatif sur les coûts à cause de ce qu'elle occasionne : du rebut, du retravail,
des interventions sous garantie, de l'insatisfaction de la clientèle,...
-  la flexibilité des équipements et des opérateurs; cette flexibilité est essentielle si l'on veut
être capable de produire une grande variété de produits.
  49
-  l'établissement de relations durables et de confiance avec les fournisseurs et sous-traitants
rigoureusement sélectionnés pour leur fiabilité et leur qualité; le coût unitaire de leur
livraison n'est, donc, plus considéré comme le facteur essentiel. A cet égard, une livraison
quotidienne, voire plusieurs livraisons par jour, sont autant d'atouts contribuant à une
réduction des stocks; il y a, en outre, un effet indirect bénéfique de régularisation des flux
matériels dans l'entreprise.
-  Le passage d'une production poussée à une produc tion tirée; l'organisation classique de la
production  prévoit que chaque station de production travaille à sa cadence maximum et
envoie, le plus rapidement possible,  sa  production à la station aval. Ceci a un effet
désastreux sur le volume global des stocks. Un e organisation de production tirée n'autorise
l'exécution d'un ordre au niveau d'une station que lorsque la station aval en exprime
explicitement (cf méthode Kanban) le besoin.
-  La responsibilisation et la motivation des travailleurs. Il s'agit d'un rejet catégorique des
principes du Taylorisme (basé sur le modèle organisationel militaire et sur une main
d'oeuvre analphabète) et le recours à des techniques permettant à tout le monde de
s'exprimer et de faire des critiques ou suggestions ( cf cercles de qualité ).
-  L'approche incrémentale, graduelle et itérative au détriment de la recherche d'effets
spectaculaires mais ponctuels.
-  La stratégie de procédé; la démarche JIT identifie le transport de pièces et d'outillages
comme étant coûteux sans apporter la moindre valeur ajoutée. Elle prône, donc, le passage
d'une organisation de type job shop à une stratégie flow shop où les transports sont réduits
au strict minimum.

Pour concrétiser les choses, nous allons considérer l'exemple simplifié d'un atelier fabricant un type
de pièce en quatre opérations. Le lot de production Q est de 200 pièces; le lot de transfert est, ici,
identique au lot de production.
L'organisation classique de la production est donnée à la figure 4.8

Opération  Oi (  min)  Q*Oi (min)  Transfert (min)
 1   2   400   20
2  3  600  20
3  4  800  20
4  5  1000  -
Total  14  2800  60

                                                                Figure 4.8

L'efficacité de la gestion peut être quantifiée par le rapport du temps de traitement d'une pièce par
rapport à son lead time : 14 / 2860 soit 0.49%.

Une première amélioration consiste à utiliser le principe du chevauchement (overlapping) des
opérations qui consiste à transférer le lot de production en deux fois en sorte que les stations aval
puissent être mises plus rapidement au travail. Les tailles Q1 et Q2 des lots de transfert se calculent
de manière à ce que la station aval n'attende pas :
Q = Q1 + Q2
Q1* Oaval > Q2 * Oamont 
On déduit :
Q1 > ( Q * Oamont ) / ( Oamont + Oaval )
Q2 = Q - Q1
  50

L'application de ce principe à notre atelier est représentée à la figure 4.9.

Opération  Oi (min)  Q1  Q2  Q1 * Oi (min)  Transfert (min)
1  2  80  120  160  20
2  3  86  114  258  20
3  4  89  111  356  20
4  5  200  -  1000  -
Total  14      1774  60

                                                              Figure 4.9

Le taux d'efficacité est, ici, égal à 14 /1774, soit 0.76 %.

On peut appliquer ce principe de chevauchement plus avant en imaginant des lots de transfert de 10
pièces. On remarque que les conditions de non-attente de la ressource aval sont remplies grâce au
fait que les temps opératoires ont une croissance monotone de l’amont vers l’aval. Les données
correspondantes sont résumées à la figure 4.10.


Opération  Oi (min)  Q1  Q2,..,Q20  Q1 * Oi (min)  Transfert (min)
1  2  10  10  20  20
2  3  10  10  30  20
3  4  10  10  40  20
4  5  200  -  1000  -
Total  14      1090  60

                                                            Figure 4.10

Le taux d'efficacité  est, cette fois, égal à 14 / 1150, soit 1.2 %.

Supposons, enfin, que les stations aient été regroupées géographiquement (de manière à rendre
négligeable le temps de transfert) et que les lots de fabrication et de transfert soient unitaires. Dans
ce cas, qui est celui du flow shop, le taux d'efficacité est égal à 100%.

On voit, clairement, le grand intérêt qu'il y a à passer, quand c'est possible économiquement, d'une
organisation job shop à une architecture flow shop. Il est évident que le flow shop requiert plus de
stations de travail que le job shop; la rentabilité de l'investissement supplémentaire suppose, donc,
des volumes de production relativement conséquents.

Pour résumer en une phrase la philosophie JIT, on peut dire qu'il s'agit de fabriquer des
produits de qualité, au moment voulu et en quantité adéquate.


4.3.2  La méthode Kanban

Cette méthode a vu le jour, comme chacun sait, chez Toyota (Japon) en 1958. C'est une des
premières tentative (réussies) d'implantation du concept de production tirée en atelier de type flow
shop. Kanban est la transcription latine d'un mot japonais signifiant "étiquette". Tout container
présent dans l'atelier doit posséder un Kanban.  L'en-cours de l'atelier est, par conséquent,
totalement maitrisé.  
On trouve, dans les versions les plus sophistiquées deux variétés de Kanban :
-  les Kanbans de production (lancement) KP attachés à une station de production,
-  les Kanbans de transfert (prélèvement) KT attachés à un couple amont-aval de stations.
Chaque Kanban correspond à un type d'article particulier.

Le principe général est donné à la figure 4.11.

Station de
p roduction
        n
Station de
production
    n + 1
Boîte de KT Boîte de KT
Container
Tableau de KP Tableau de KP
KP
KT
KP
KT
Fi g ure 4.11
1'
2
3
3'
4
3
1
3'
4
Flux physique (pièces)
Flux d'informations (Kanbans)
Stock  n File d'attente n + 1
1


Les opérations se déroulent de la manière suivante (nous supposons, ici, que les containers
voyagent d’un bout à l’autre de la ligne avec les pièces) :
1.  Le préposé au transfert des containers prend les KT se trouvant dans la boîte correspondante et
se dirige vers le stock de la station amont. Il remplace sur les containers de ce stock, les KP
(qu'il place sur le planning de production de la station amont) par les KT.
2.  Le préposé achemine les containers vers la file d'attente de la station aval. On voit, donc, que
seuls les containers demandés par l'aval sont transférés; en outre, seuls les containers qui
quittent le stock d'une station de production pr oduisent un ordre de fabrication pour un autre
container de même type.
3.  L'opérateur de la station consulte son tableau de KP, choisit (nous verrons comment ci-dessous)
un KP; il remplace, alors sur un container idoine le KT (qu'il place dans la boîte de KT de la
station) par le KP choisi.
4.  L'opérateur produit les pièces dudit container.

  51
Supposons que la station de production considérée produise quatre types de pièces P1, P2, P3 et P4.
Le tableau de KP possède dans ce cas quatre colonnes; chaque colonne est munie de trois index
indiquant respectivement la quantité économique,  le niveau d'alerte (montrant qu'il devient urgent
de produire ce type de pièce) et le nom bre total de Kanbans (cf figure 4.12).

Tableau des Kanbans de production
P1 P2 P3 P4
M : Nombre total de Kanbans
A : Point d'alerte
E : Quantité économique
Fi gure 4.12
K : Kanban
M
MM
M
A
AA
A
E
E
EE
K
K
K
KKK

Dans la situation décrite à la figure 4.12, la meilleure décision est de produire 2 containers de P1.
Le point d'alerte fait penser à la méthode du point de commande en gestion de stock; rappelons que
le point d'alerte ne correspond, au pl us, qu'à quelques heures de production.


Une dernière problématique intéressante concerne le nombre de Kanbans à prévoir.
Si on pose 
-  N = nombre de kanbans ( KP ou KT) à prévoir,
-  D = demande de pièces par unité de temps,
-  P = délai de mise à disposition d'un container (somme des temps d'attente, de changement
de série et de production),
-  Q = quantité de pièces par container,
-  S = coefficient de sécurité,
on a :
N  ≥  ( D * P * ( 1 + S ) ) / Q

Toute diminution de P entraîne une réduction du nombre de Kanbans, et, donc, de l'en-cours.


  52
  53
La mise en oeuvre pratique de la méthode se fait de manière incrémentale; on part d'un nombre
raisonnablement élevé de Kanbans et on tente une première réduction; les problèmes qui
apparaissent, alors, sont analysés et résolus; on tente une réduction supplémentaire et ainsi de suite.

Signalons, enfin, la bonne complémentarité qui existe entre MRP et Kanban. Dans beaucoup
d'entreprises ( en construction automobile, par exemple ), la fabrication des sous-ensembles et
éléments standards est  poussée (MRP) tandis que le montage final est tiré (Kanban).


  54
                                               

5   Ordonnancement et gestion des flux physiques

5.1  Introduction

Les ordres d’achat et de fabrication ont  été planifiés dans le cadre d’un MRP (avec contrôle des
capacités de production).
Ce chapitre se focalise sur les procédures de planification court terme relatives au lancement et à
l’exécution des ordres de fabrication.
D’une manière plus précise, l’ordonnancement consiste à :
-  détailler les ordres de fabrication; les ordres issus du calcul des besoins concernent les
postes de travail (départements) de l’entreprise; avant exécution, il est souvent nécessaire
de détailler ces ordres à l'aide de leurs gammes opératoires; celles-ci donnent les
séquences d’opérations primitives
22
 (partiellement
23
 ordonnées) correspondant aux
diverses ressources de production du poste de travail;
-  allocation des opérations aux ressources de production avec établissement des priorités et
gestion des files d’attente;
-  gestion des entrées-sorties des postes de travail.

L’horizon de travail de l’ordonnancement est typiquement de 24 heures; les opérations
correspondantes sont, dans la mesure du possible
24
, non instanciées c’est-à-dire non liées à des
ressources physiques dédicacées. Remarquons, néanmoins, que l’ordonnancement travaille avec les
capacités prévues dans son horizon de travail (qui est relativement court).

La gestion des flux physiques, quant à elle, a pour mission essentielle d’instancier les opérations
définies par l’ordonnancement qui appartiennent à son horizon de travail (typiquement 1 heure)
c’est-à-dire d’identifier et réserver les ressources de production disponibles nécessaires.
Une opération  instanciée porte le nom d’action.
Certaines opérations ne peuvent pas être instan ciées simplement parce que une (ou plusieurs)
ressource(s) de production nécessaire(s) à son exécution n’(ne) est(sont) pas disponible(s) au
moment voulu. Ces opérations sont mises en attente
25
 et seront reconsidérées lors de l’exécution
suivante de la gestion des flux.

Terminons ce paragraphe en signalant que la frontière entre ordonnancement et gestion des flux
physiques est parfois ténue, pour ne pas dire inexistante; dans ce cas, toutes les procédures depuis le
détail des ordres de fabrication jusqu’à l’inst anciation des opérations se font en une fois.


5.2  Gestion de flow shops (batch)


22
 C’est-à-dire directement exécutables par les ressources de production de l’entreprise.
23
 Il n’existe pas obligatoirement de s relations de précédence entre toutes les opérations relatives à un ordre de
fabrication; certaines opérations peuvent être exécutées indi fféremment l’une avant l’autre,  l’autre avant l’une ou même
simultanément.
24
 La prise en compte du set up des ressources de production ob lige parfois le planificateur à faire des instanciations
prématurées.
25
 Ainsi que les opérations qui doivent suiv re celles qui sont mises en attente.
  55
Nous envisagerons ici les flow shops travaillant en batches entre lesquels un set up est requis. Ce
sont les seuls flow shops qui posent des problèmes d’ordonnancement.

L’établissement des priorités entre les batches est, en général, gouverné par le délai de rupture
(runout time) des produits correspondants.
Ce délai de rupture, pour un produit, est donné par le rapport :
(contenu du stock)/(débit de sortie du stock).

La figure 5.1 montre un exemple simple d’exploitation de ce rapport.

Produit  Stock (T)  Débit de sortie
de stock (T/jour)
Délai de
rupture  (jours)
Priorité
A  0.8  0.2  4  1
B  1  0.1  10  3
C  1.5  0.2  7.5  2
D  0.6  0.04  15  4

Figure 5.1

Si le changement de produit nécessite un set up non négligeable, il est indispensable de travailler
par lot (quantité économique); ceci peut compliquer considérablement le travail du planificateur.
La figure 5.2 reprend les données de la figure 5.1 en y incorporant les quantités économiques des
divers produits (le débit de production est de 0.5 T/jour pour les quatre produits).

Produit  Stock (T)  Débit de sortie
de stock (T/jour)
Délai de
rupture  (jours)
Quant.
écon.
(T)
Temps
de prod.
(jours)
Priorité
A  0.8  0.2  4  4  8  1
B  1  0.1  10  2  4  3
C  1.5  0.2  7.5  1.5  3  2
D  0.6  0.04  15  1.5  3  4

Figure 5.2

On constate que le batch A est en retard; en effet, il y aura rupture en C (dans 7.5 jours, pendant 0.5
jour) et en B (dans 10 jours, pendant 1 jour).




5.3  Gestion de job shops

5.3.1 But poursuivi

Dans le cadre d’un job shop, l’ordonnancement consiste à :
-  détailler les ordres de fabrication de chaque département en opérations relatives aux divers
postes de travail en exploitant les gammes opératoires desdits ordres;
-  séquencer les opérations de chaque poste de travail, c’est-à-dire déterminer la date de
début, la date de fin et la priorité des opérations;
-  gérer les files d’attente (et par conséquent les lead times) des postes de travail par une
gestion de ses entrées-sorties.

5.3.2  Le formalisme de Gantt

H. Gantt a introduit un formalisme graphique en 1917; ce formalisme, également connu sous
l’appellation “ bar chart”, est fort utilisé en gestion de job shops et en gestion de projets.

La partie grise représente la partie de l’activité (ordre ou opération) déja réalisée. 

Les avantages de la représentation sont :
-  convivialité et lisibilité;
-  identification aisée des retards.

L’inconvénient majeur est lié au fait que les contraintes de capacité ou de précédence ne sont pas
représentées.

5.3.3  Règles de priorité

Les règles de priorité déterminent l’ordre de passage des opérations en attente dans la file des
postes de travail.
La figure 5.5 montre les règles les plus usitées.

Règle  Description
First Come, First Served  -
Shortest Operation Time  -
Shortest Processing Time Remaining  Somme des durées des opérations restant à
effectuer sur le lot
Fewest Operations remaining  -
Shortest Manufacturing Time Remaining  On inclut ici les temps d’attente et de transport
planifiés en sus de la durée des opérations
Earliest Due Date  -
Slack Time  ST = DD – Present Date - PTR
Critical Ratio  CR = (DD – PD)/MTR

Figure 5.5
  57
  58

La figure 5.6 présente des données relatives à un poste de travail au jour 125.

Ordre  Due Date  Operation
Time
(jours)
Process.
Time
Remain.
(jours)
Manuf.
Time
Remain.
(jours)
Number
of Oper.
Remain.
Slack
Time
(jours)
Critical
Ratio
1  130  1.5  3  6  3  2  0.83
2  132  1  4.5  9.5  5  2.5  0.74
3  136  2  4  8  4  7  1.38
4  138  3.5  7  9  2  6  1.44

Figure 5.6

La figure 5.7 montre les séquencements proposés par les diverses règles.

Règle  Séquencement
Shortest Operation Time  2 1 3 4
Shortest Processing Time Remaining  1 3 2 4
Shortest Manufacturing Time Remaining  1 3 4 2
Earliest Due Date  1 2 3 4
Fewest Operations remaining  4 1 3 2
Slack Time  1 2 4 3
Critical Ratio  2 1 3 4

Figure 5.7

Terminons ce paragraphe en évoquant le cas des ordres en retard.
Pour ces ordres, le Critical Ratio n’est pas utilisable comme nous le montre la figure 5.8 (au jour
35).

Ordre  Due Date  Time Remain.
(jours)
Manuf. Time
Remain. (jours)
Critical
Ratio
Avance
(jours)
1  40  5  2  2.5  3
2  35  0  10  0  -10
3  35  0  8  0  -8
4  25  -10  4  -2.5  -14
5  25  -10  8  -1.25  -18

Figure 5.8

Le Critical Ratio met 2 et 3 à égalité alors que le retard de 2 est supérieur; en outre il classe 4
devant 5 alors que le retard de 5 est le plus important.

Dans certains cas, l’objectif de l’ordonnancement est de minimiser le retard moyen des ordres
lancés; dans d’autres cas, c’est plutôt le nombre d’ordres en retard qui retient l’attention.


  59

5.3.4  Taille des files d’attente

La file d'attente d'un poste de travail est constituée par tous les ordres en attente d'exécution au
poste considéré. Dans la suite, nous utiliserons indifféremment les vocables file d'attente et en-cours.
La longueur de la file d'attente (mesurée en nombre d'heures de travail pour le poste) peut être
considérée comme une variable aléatoire normale L de valeur moyenne Lmoy et d'écart-type Lsd.
Pour la variable normale réduite Lréd = (L – Lmoy)/Lsd, on sait, par exemple, 
que :
P ( Lréd > -2.33 ) = 0.99.
Par conséquent, P ( L > Lmoy – 2.33*Lsd ) = 0.99.
Si nous choisissons comme valeur moyenne Lmoy = 2.33*Lsd, nous aurons P( L > 0 ) = 0.99 et
donc une probabilité de 99% de ne pas avoir de rupture d'approvisionnement du poste de travail. 
Pratiquement, on calcule, périodiquement, Lsd sur base des fluctuations de la file d'attente lors de la
semaine précédente, et on vérifie que l'en-cours moyen se trouve bien au niveau requis. La
modification de ce dernier se fait par une gestion idoine des entrées-sorties du poste.

5.3.5  Gestion des entrées-sorties

Le but de cette gestion est de garder sous contrôle l'en-cours des postes de travail. Cet en-cours ne
peut, en aucun cas, être trop élevé (car il induit une immobilisation financière et un lead time
importants). Dans certains cas (ressources critiques), il ne peut pas descendre en dessous d'une
valeur minimum garantissant l'approvisionnement du poste de travail.
La figure 5.9 montre une gestion des entrées-sorties d'un poste de travail dont la capacité est de 16
h/jour (2 pauses). L'évolution de l'en-cours réel  nous donne une valeur moyenne de 30 heures et un
écart-type de 3.3 heures. L'en-cours (planifié et réel ) est, donc, inutilement élevé. Même si le poste
de travail est critique, un en-cours moyen de 3*3.3 heures = 10 heures nous garantit
l'approvisionnement du poste avec une probabilité de 99.9%.
Il est donc raisonnable de planifier une réduction de l'en-cours par une augmentation temporaire de
la capacité du poste (heures supplémentaires).

    J-5  J-4  J-3  J-2  J-1  J1  J2  J3  J4  J5
Entrées
planifiées
  16  16  16  16  16  16  16  16  16  16
Entrées
réelles
  12  19  22  10  15          
Sorties
planifiées
  16  16  16  16  16  20  20  20  20  18
Sorties
réelles
  17  15  17  18  15          
En-cours
planifiés
  32  27  31  36  28  24  20  16  12  10
En-cours
réels
32  27  31  36  28  28          
Figure 5.9

5.4  Gestion de projets (la méthode PERT/CPM)

  60
                                               

5.4.1 Introduction

Les acronymes ont les significations suivantes:
ƒ  PERT : Planning Evaluation and Review Techniques;
ƒ  CPM : Critical Path Method.

Les deux méthodes sont similaires et ne seront pas distinguées dans la suite.

Le projet à gérer possède les caractéristiques suivantes :
ƒ  une date de début;
ƒ  une date de fin;
ƒ  des activités de durées connues (éventuellement estimées), partiellement ordonnées
26
.

La méthode PERT/CPM utilise un réseau sémantique dont les noeuds sont les activités du projet et
dont les liens orientés sont les relations de précédence (has-to-precede) entre lesdites activités
27
.

Signalons, pour terminer cette introduction, que la méthode ne prévoit pas de vérification de
capacité.

5.4.2  Durée des activités

La méthode se base sur les trois estimations suivantes :
ƒ  a : durée la plus optimiste (courte);
ƒ  b : durée la plus pessimiste (longue);
ƒ  m : durée la plus probable.

La durée d'une activité quelconque est, alors, considérée comme une variable aléatoire D de
distribution beta dont la moyenne et l'écart-type sont donnés par :
Dmoy = (a + 4m + b)/6;
Dsd = (b – a)/6.

5.4.3  Notion de chemin critique

Prenons l'exemple de la figure 5.10.

26
 Ceci signifie qu'il existe des relations de précédence entre  certaines activités.
27
 Ce formalisme est dit Activities On Nodes; il existe un formalisme dual appelé Activities On Arcs où les noeuds
représentent les divers états du projet.
  61


Activité  Has-to-follow
28
Durée moyenne
(jours)
A  -  12
B  -  9
C  A  10
D  B  10
E  B  24
F  A  10
G  C  35
H  D  40
I  A  15
J  E, G, H  4
K  F, I, J  6

Figure 5.10

A partir de ces données on peut construire le réseau sémantique de la figure 5.11. Les dates au plus
tôt (Earliest Starting Time)  et au plus tard (Latest Starting Time) des activités sont calculées à la
figure 5.12.
Le flottement d'une activité est la différence LST – EST.
Le(s) chemin(s) critique(s) est(sont) constitué(s) par la séquence d'activités sans flottement.
Dans la cas de la figure 5.12, il n'y a qu'un chemin critique : BDHJK; la durée du projet est de 69
jours (longueur du chemin critique).

                                                
28
 Has-to-follow est la relation  inverse de Has-to-precede.



EST

LST

Activité

Durée moyenne






15  
F
10


C
10


A
12


G
35


D
10


H
40


J
4




9
B


24
E


6
K
I















Figure 5.11

  62


  63



                                                                                                                                                                                   






                                                                                                                                                                                   
12
15  48
F
10
12
53
C
10
12
14
A
12
0
2
G
35
22
24
D
10
9
9
H
40
19
19
J
4
59
59
35  24
E  9
0
0
9
B
63
63
6
K
I





Figure 5.12

Soit LC la longueur du chemin critique; LC est la somme des durées des activités critiques
(variables aléatoires de distribution beta). Le théorème central limite nous apprend que LC est une
variable aléatoire normale. Ses valeurs typiques sont :


=
=
i
i
i
i
Dsd LCsd
Dmoy LCmoy
2

(LC – LCmoy)/LCsd est la variable normale réduite et, donc, la probabilité que LC soit inférieure à
une valeur donnée se calcule aisément.

5.4.4  Ordonnancement à durée minimum

La figure 5.13 montre l'évolution du coût direct d'une activité lorsqu'on augmente les ressources
allouées à l'activité pour réduire sa durée. La fonction coût(durée) est, en fait, une fonction
monotone décroissante approchée par une droite entre le point crashé et le point normal. La durée
crashée représente la durée minimum de l'activité lorsque toutes ressources possibles ont été
mobilisées.           
                                                                                                                                                                                   
             Coût


  Coût crashé
  CC


Coût normal
CN





Point
 crashé
        




Point
normal  



               Durée                                                           Durée             Durée
               crashée                                                        normale
               DC                                                               DN


Figure 5.13

On appelle Cost to crash per week le rapport (CC – CN) / (DN – DC).

La procédure d'ordonnancement à durée minimum est extrêmement simple; elle consiste à :
−  établir le réseau sémantique des activités crashées;
−  identifier le chemin critique;
−  décrasher au maximum (sans créer un nouveau chemin critique) les activités non critiques de
manière à réduire le coût du projet en le maintenant à durée minimale.


5.4.5  Ordonnancement à coût minimum

En plus du coût direct des activités, il faut prendre en considération :
−  le coût indirect du projet; ce cout représen te l'overhead, la location des équipements de
chantier,...; il est proportionnel à la durée du projet;
−  le bonus; dans certains contrats on prévoit un bonus par jour gagné sur une durée de référence;
−  la pénalité; beaucoup de contrats stipulent une pénalité par jour de retard par rapport à une
durée de référence.

La procédure d'ordonnancement à coût minimal consiste en la séquence suivante :

  64
  65
1.  établir le réseau des activités normales;
2.  identifier le(s) chemin(s) critique(s),
3.  sélectionner l'activité critique dont le cost to crash per week est le plus petit;
4.  réduire au maximum la durée de l'activité; il se peut qu'on ne puisse pas atteindre le point crashé
à cause de l'apparition d'un nouveau chemin critique ou parce que l'économie réalisée est
inférieure au cout supplémentaire (condition d'arrêt de la procédure); notons que l'existence de
plusieurs chemins critiques impose d'opérer sur une activité de chaque chemin simultanément;
5.  aller en 2.

  66
                                               
6  Maintenance et qualité totales

6.1 Introduction

L'élimination drastique des en-cours (pour des raisons financières et de délai de livraison) rend
indispensable l'instauration d'une politique de maintenance rigoureuse (pour assurer la disponibilité
des équipements de production) et d'un contrôle de qualité performant (puisqu'il n'y a plus de stocks
plétoriques permettant de remplacer rapidement le rebut).

L'approche classique de la qualité consiste à trouver un compromis entre le coût de la non qualité
(rebut, retravail, intervention en garantie chez le client, perte de confiance du client, ...) et le coût du
contrôle (qui est proportionnel à la fréquence des contrôles). 
Cette vision statique a été tout-à-fait contestée  par l'approche dynamique JIT qui investigue les
causes de la non qualité et qui y remédie au niveau de la conception des produits et des équipements
de production, de la fabrication, de la distributi on ainsi que du service en clientèle. D'où le nom de
qualité totale.

L'approche classique de la maintenance a d'abord consisté à pratiquer ce que l'on appelle la
maintenance curative, c'est-à-dire n'intervenir qu'en cas de perte de fonctionnalité.
Une ressource de production tombe généralement en panne au moment où elle est fortement
sollicitée (donc indispensable à la production) et  avant de perdre sa fonctionnalité, elle dérive (et
produit donc des pièces de moins en moins conformes et même des rebuts).
 On est, donc, passé au concept de maintenance préventive (inconditionnelle
29
 au départ) en tentant
de trouver un compromis entre le coût des arrêts machines et le coût de la maintenance préventive.
JIT, avec son concept de production tirée, ne peut pas tolérer de pannes récurentes et, par
conséquent, investigue et corrige les causes de panne.

6.2  Contrôle de qualité

6.2.1 Considérations statistiques

Prenons l’exemple concret d’une fabrication de pistons par tournage.
Supposons que le diamètre nominal soit de 50 mm, avec une tolérance de 0.06 mm.
Cela signifie que le diamètre du piston fabriqué doit impérativement se trouver dans l’intervalle
(49.94  50.06) mm pour que le moteur fonctionne correctement.
Imaginons que nous travaillons avec un tour de qualité moyenne capable de fabriquer des pistons
dont le diamètre D peut être considéré comme une variable aléatoire normale de moyenne
 Dmoy = 50 mm et d’écart-type Dsd  = 0.02 mm.
On sait que (D – Dmoy) / Dsd est la variable normale réduite Dréd dont la distribution nous
apprend que : P (-3 < Dréd < +3)  = 0.997; on en déduit que la probabilité P ( 49.94 < D < 50.06 )
de fabriquer des pistons respectant les tolérances est de 99.7 %.
Les conditions de production peuvent être considérées comme acceptables dans la mesure où,
grosso modo, on aura 0.3 % de rebut.

Supposons, maintenant, que la plaquette de l’outil de coupe s’use prématurément
30
; cela va
augmenter progressivement Dmoy.

29
 La maintenance préventive inconditionnelle prévoit des interventions sur base du nombre d'heures (de km)
d'utilisation de la ressource; la maintenance préventive conditionnelle n'interv ient que lorqu'une dégradation est
enregistée (par l'opérateur ou un capteur).
Prenons le cas où Dmoy vaut 50.02 mm.
Cette fois, la distribution de la normale réduite nous apprend que P ( Dréd < 2 ) = 0.98; cela nous
permet de déduire que la probabilité P ( D > 50.06) de fabriquer des pistons hors tolérance (vers le
haut) est de 2 %.
Le rebut est, donc, multiplié par 7.

6.2.2  Acceptation par échantillonnage

Le client accepte un lot de 1000 pistons s’il contient un taux de rebut inférieur ou égal à 1 %.
Le principe consiste à prélever avec remplacement
31
 un échantillon dans chaque lot de 1000
pistons, par exemple.
Chaque piston de l’échantillon est mesuré; le lot est accepté si aucun piston n’est hors tolérance.
Si un ou plusieurs rebuts sont trouvés dans l’échantillon, le lot est contrôlé à 100 %.
Le problème est de dimensionner l’échantillon en sorte que le risque du client (acceptation d’un lot
dont le taux de rebut est supérieur à 1 %) et le risque du producteur (rejet d’un lot dont le taux de
rebut est inférieur ou égal à 1 %) soient maintenus à des niveaux raisonnables.
Pour concrétiser les choses, imaginons qu’un lot donné contienne 15 rebuts (il doit donc être refusé
par le client) et que la taille de l’échantillon soit fixé à 50.
50
985.0
Le risque du client est égal à la probabilité de prélever successivement 50 pistons dans les
tolérances,  c’est-à-dire , à savoir 47 %. La seule manière de limiter ce risque est
d’augmenter la taille de l’échantillon.
50
994.0
Si le lot ne contient que 6 rebuts (il doit donc être accepté par le client), la probabilité de préléver
successivement 50 pistons dans les tolérances, c’est-à- dire , à savoir 74 %. La
probabilité de refuser le lot est, donc, de 1 – 0.74, à savoir 26 %. La seule manière de limiter ce
risque est de diminuer la taille de l’échantillon; les politiques du client et du producteur sont
contradictoires.

Signalons, pour terminer ce paragraphe, que dans le cas de fabrication de haute qualité (très faible
taux de rebut), la limitation du risque du client conduit à des tailles d’échantillon énormes
(quasiment du contrôle à 100 %); c’est la raison pour laquelle, on se tourne, dans ce cas, vers
d’autres techniques.

.

6.2.3  Statistical Process Control

Le prélèvement d’échantillons (de taille n) peut s’utiliser non pas pour juger la qualité des produits
fabriqués mais pour détecter une dégradation
32
 au sein de l’équipement de production.

i
d Soit             ( i = 1, n) le diamètre de chaque piston de l’échantillon.
:

  67
                                                                                                                                                                 
30
 Cette usure prématurée peut être due, par exemple, à une augmentation de la dureté du matériau 
des pistons bruts.
31
 Remplacement signifie qu’après mesurage,  le piston est remis dans le lot et  a, donc, une probabilité non nulle d’être
encore prélévé; cette stratégie un peu absurde simplifie considérablement les calculs tout en n’introduisant que des
différences marginales avec le prélèvement sans remplacement (qui paraît plus l ogique dans la mesure où un rebut n’est
jamais remis dans le lot).  
32
 Il faut faire un distinction subtile entre dégradation et défaillance. La dégradation de l’équipement concerne
l’apparition de phénomènes physico-chimiques (usure d’outil, entartrage, ..)  conduisant à terme à la défaillance, c’est-à-dire la perte de fonctionnalité.

  68
∑ =
i
i
d
n
d
1
                                     
Si on pose,  moyenne des diamètres de l’échantillon, nous savons que cette

 moyenne (dite  échantillonnée) est une variable al éatoire normale dont la  moyenne est Dmoy et 
Dsd
n
l’écart-type .
1


Supposons, cette fois, que nous travaillons avec un tour de précision permettant l’obtention de :
Dmoy = 50 mm;
Dsd = 0.01 mm.
6
10

≈ La probabilité de fabriquer du rebut est donnée par 1 - P ( -6 < Dréd < +6)  .
Si nous travaillons avec des échantillons de 4 pistons, la distribution de   est normale de moyenne
50 mm et d’écart-type 5 microns.

d

Une carte SPC correspondant à des conditions normales de fonctionnement est, dans ce cas, donnée
à la figure 5.14.


d



       *
   

   * *      *
 *       *
  *   *    *
      *

Zone 3

Zone 2

Zone 1

Zone 1

Zone2

Zone 3







               
 (mm)
50.015
50.010
50.005
50.000
49.995
49.990
49.985



Numéro d’échantillon
Figure 5.14

On sait que :
P (-1 < Dréd < +1) = 68.2 %;
P (-2 < Dréd < +2) = 95.4 %;
P (-3 < Dréd < +3) = 99.7 %.
De plus, la distribution normale est symétrique.
Par conséquent, un diagramme sain doit avoir les caractéristiques suivantes :
- aucune tendance;
-  symétrie par rapport à Dmoy;
-  la majorité des points (68 %) en zone 1 ;
-  quelques points en zone 2;
  69
                                               
-  un point isolé en zone 3.

Tout autre aspect est pathologique et doit déclencher une investigation.
La critique la plus importante adressée au SPC est qu’il requiert au niveau de l’atelier
33
 des
compétences statistiques un peu trop sophistiquées.

6.2.4 Mistake proofing

Cette approche prend le contre-pied des démarches statistiques en constatant que le gros des rebuts
en assemblage provient du fait que l’opérateur oublie de temps à autre d’insérer un composant
(ressort, clip,..) dans son assemblage. Comme il est peu réaliste d’exiger un sans-faute pendant
toute la durée de la vie de travail, il est proposé d’organiser la station d’assemblage en sorte qu’un
oubli soit immédiatement et immanquablement détecté. Il s’agit par exemple de positionner tous les
composants sur une palette dédicacée avant de commencer l’assemblage
34
; cette palette DOIT être
vide à la fin de l’assemblage.

6.3 Maintenance 

La gestion de la maintenance assistée par ordinateur (GMAO) ressemble très fort à la GPAO
traditionnelle dans la mesure où :
-  les stocks de pièces de rechange et d’outillages de maintenance se gèrent comme les
stocks de production;
-  les ordres de maintenance ont une gamme opératoire au même titre que les ordres de
fabrication.

Les systèmes de GMAO le plus sophistiqués prévoient donc des planifications à horizons
décroissants et détails croissants comme leurs cousins de GPAO. Signalons, à cet égard que la
maintenance est souvent intégrée aux gros progiciels de GPAO.

C’est l’approche JIT (production tirée à en-cours et stockage minima) qui fait de la maintenance
préventive (conditionnelle ou non) un must. En effet, il est aberrant de s’inscrire dans un contexte
JIT en gardant une optique de maintenance curative dans la mesure où le throughput des lignes de
fabrication régies par Kanban, par exemple,  est sérieusement menacé par l’arrêt des diverses
stations de travail bloquées par leur amont ou aval immédiats.
D’où le concept de Total Preventive Maintenance (TPM) s’appliquant à tous les équipements de
production.
L’acronyme TPM est également utilisé dans le sens Total Productive Maintenance dans la mesure
où l’on tente de plus en plus d’impliquer les opérateurs machine dans le processus de maintenance.
En effet, qui peut mieux détecter une dégradati on ( qui se manifeste par un bruit ou une vibration
inhabituelle) que l’opérateur qui travaille sur la machine huit heures par jour ?
Les tendances les plus avancées consistent à confier la maintenance de premier niveau
(vidanges,…) et le déclenchement des maintenances de niveaux supérieurs (remplacement
d’organes,…) aux opérateurs machine.


33
 contairement à l’acceptation par échantill onnage (mise en oeuvre par les agents qualité du client), le SPC est exécuté
par le personnel de production.
34
 plutôt que d’autoriser l’opérateur à à prélever les composants dont il a besoin directement dans les containers
d’approvisionnement.
  70
7 Bibliographie


-  Benedetti C. et Guillaume J. Gestion des approvisionnement et des stocks. Editions des
Etudes vivantes . ISBN 2-7607-0535-8.
- Biemans . Manufacturing Planning and Control : a reference model. Elsevier 1990.
- Boulanger A. Vers le zéro panne avec la maintenance conditionnelle. Afnor 1988. ISBN
2-12-467011-8.
-  Brumet J., Jaume D., Labarrère M., Rault A. et Vergé.Détection et diagnostic de pannes.
Approche par modélisation. Hermès 1990. ISBN 2-86601-241-0.
-  Courtois A., Pillet M. et Martin C.  Gestion de production. Editions d'organisation. ISBN
2-7081-1116-7.
- Crouhy M. La gestion informatique de la production industrielle.  Editions de l'Usine
nouvelle. ISBN 2-281-34013-9.
-  Fogarty D., Blackstone J. and Hoffman T.  Production and Inventory Management. South
Western Publishing Company 1991. Cincinatti. USA.
-  Fougerousse S. et Germain J.  Pratique de la maintenance. Afnor Gestion 1992. ISBN 2-12-46721-8.
- Orlicky J.  MRP : Material Requirements Planning. Mc Graw Hill. ISBN 0-07-047708-6.
- Roger P. Gestion de production. Editions Précis d'Alloz. ISBN 2-247-01342-2                                                      

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